Precálculo Ejemplos

$\frac{4}{x - 4} > \frac{4}{x + 2}$

Paso 1

Resta $\frac{4}{x + 2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{4}{x - 4} - \frac{4}{x + 2} > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{4}{x - 4} - \frac{4}{x + 2}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{4}{x - 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{x - 4} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4}{x + 2} > 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{4}{x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{4}{x - 4} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4}{x + 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} > 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 4) (x + 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{4}{x - 4}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{4}{x + 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} > 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{4}{x + 2}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{4 (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x + 2) (x - 4)} - \frac{4 (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 (x + 2) - 4 (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Factoriza $4$ de $4 (x + 2) - 4 (x - 4)$ .

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Paso 2.5.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 (x - 4)$ .

$\frac{4 (x + 2) + 4 (- (x - 4))}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Paso 2.5.1.2

Factoriza $4$ de $4 (x + 2) + 4 (- (x - 4))$ .

$\frac{4 (x + 2 - (x - 4))}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (x + 2 - x - - 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{4 (x + 2 - x + 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Paso 2.5.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{4 (0 + 2 + 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Paso 2.5.5

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{4 (2 + 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Paso 2.5.6

Suma $2$ y $4$ .

$\frac{4 \cdot 6}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Paso 2.6

Multiplica $4$ por $6$ .

$\frac{24}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 5

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 2$

$x = 4$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = - 2, 4$

Paso 8

Obtén el dominio de $\frac{24}{(x + 2) (x - 4)}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{24}{(x + 2) (x - 4)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 2) (x - 4) = 0$

Paso 8.2

Resuelve $x$

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Paso 8.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 8.2.2

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 8.2.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 8.2.3

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.3.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 8.2.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 8.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 4$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 4$

$x > 4$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{(- 4) - 4} > \frac{4}{(- 4) + 2}$

Paso 10.1.3

$- 0.5$ del lado izquierdo es mayor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{(0) - 4} > \frac{4}{(0) + 2}$

Paso 10.2.3

$- 1$ del lado izquierdo no es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{(6) - 4} > \frac{4}{(6) + 2}$

Paso 10.3.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $0.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $x > 4$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$

Paso 13