Precálculo Ejemplos

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Paso 1

Simplifica $4 x (x - 2)$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$0 + 0 + 4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Paso 1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Paso 1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1

Mueve $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Paso 1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Paso 1.5

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$4 x^{2} - 8 x < (2 x - 1) (x - 3)$

Paso 2

Simplifica $(2 x - 1) (x - 3)$ .

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Paso 2.1

Expande $(2 x - 1) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x (x - 3) - 1 (x - 3)$

Paso 2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 (x - 3)$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Paso 2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - 1 x - 1 \cdot - 3$

Paso 2.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x - 1 \cdot - 3$

Paso 2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x + 3$

Paso 2.2.2

Resta $x$ de $- 6 x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 7 x + 3$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 3.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} < - 7 x + 3$

Paso 3.2

Suma $7 x$ a ambos lados de la desigualdad.

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 7 x < 3$

Paso 3.3

Resta $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 8 x + 7 x < 3$

Paso 3.4

Suma $- 8 x$ y $7 x$ .

$2 x^{2} - x < 3$

Paso 4

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} - x = 3$

Paso 5

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - x - 3 = 0$

Paso 6

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 3 = 0$

Paso 6.1.2

Reescribe $- 1$ como $2$ más $- 3$

$2 x^{2} + (2 - 3) x - 3 = 0$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 = 0$

Paso 6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3 = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 x (x + 1) - 3 (x + 1) = 0$

Paso 6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 3) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Paso 8

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 9

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 9.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 9.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (2 x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{3}{2}$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$4 (- 4) ((- 4) - 2) < (2 (- 4) - 1) ((- 4) - 3)$

Paso 12.1.3

$96$ del lado izquierdo no es menor que $63$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$4 (0) ((0) - 2) < (2 (0) - 1) ((0) - 3)$

Paso 12.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$4 (4) ((4) - 2) < (2 (4) - 1) ((4) - 3)$

Paso 12.3.3

$32$ del lado izquierdo no es menor que $7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ Verdadero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ Verdadero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

Paso 14

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 1, \frac{3}{2})$

Paso 15