Precálculo Ejemplos

$2 x > \frac{4}{x + 1}$

Paso 1

Resta $\frac{4}{x + 1}$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 x - \frac{4}{x + 1} > 0$

Paso 2

Simplifica $2 x - \frac{4}{x + 1}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x (x + 1) - 4}{x + 1} > 0$

Paso 2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1

Factoriza $2$ de $2 x (x + 1) - 4$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x (x + 1)$ .

$\frac{2 (x (x + 1)) - 4}{x + 1} > 0$

Paso 2.3.1.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (x (x + 1)) + 2 \cdot - 2}{x + 1} > 0$

Paso 2.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x (x + 1)) + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x (x + 1) - 2)}{x + 1} > 0$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 2)}{x + 1} > 0$

Paso 2.3.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 - 2)}{x + 1} > 0$

Paso 2.3.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{x + 1} > 0$

Paso 2.3.5

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 2.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 2.3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 ((x - 1) (x + 2))}{x + 1} > 0$

$\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 1, - 2, - 1$

Paso 9

Obtén el dominio de $\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 1 = 0$

Paso 9.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$2 (- 4) > \frac{4}{(- 4) + 1}$

Paso 11.1.3

$- 8$ del lado izquierdo no es mayor que $- 1.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1.5$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1.5$ en la desigualdad original.

$2 (- 1.5) > \frac{4}{(- 1.5) + 1}$

Paso 11.2.3

$- 3$ del lado izquierdo es mayor que $- 8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 (0) > \frac{4}{(0) + 1}$

Paso 11.3.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$2 (4) > \frac{4}{(4) + 1}$

Paso 11.4.3

$8$ del lado izquierdo es mayor que $0.8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 < x < - 1$ o $x > 1$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 2, - 1) \cup (1, \infty)$

Paso 14