Precálculo Ejemplos

$\frac{21}{x - 6} > \frac{18}{x - 1}$

Paso 1

Resta $\frac{18}{x - 1}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{21}{x - 6} - \frac{18}{x - 1} > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{21}{x - 6} - \frac{18}{x - 1}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{21}{x - 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{21}{x - 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{18}{x - 1} > 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{18}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{21}{x - 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{18}{x - 1} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} > 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 6) (x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{21}{x - 6}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{21 (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)} - \frac{18}{x - 1} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} > 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{18}{x - 1}$ por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{21 (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)} - \frac{18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x - 6) (x - 1)$ .

$\frac{21 (x - 1)}{(x - 1) (x - 6)} - \frac{18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{21 (x - 1) - 18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Factoriza $3$ de $21 (x - 1) - 18 (x - 6)$ .

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Paso 2.5.1.1

Factoriza $3$ de $21 (x - 1)$ .

$\frac{3 (7 (x - 1)) - 18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Paso 2.5.1.2

Factoriza $3$ de $- 18 (x - 6)$ .

$\frac{3 (7 (x - 1)) + 3 (- 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Paso 2.5.1.3

Factoriza $3$ de $3 (7 (x - 1)) + 3 (- 6 (x - 6))$ .

$\frac{3 (7 (x - 1) - 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (7 x + 7 \cdot - 1 - 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{3 (7 x - 7 - 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Paso 2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (7 x - 7 - 6 x - 6 \cdot - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Paso 2.5.5

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$\frac{3 (7 x - 7 - 6 x + 36)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Paso 2.5.6

Resta $6 x$ de $7 x$ .

$\frac{3 (x - 7 + 36)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Paso 2.5.7

Suma $- 7$ y $36$ .

$\frac{3 (x + 29)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 29 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 4

Resta $29$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 29$

Paso 5

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 29$

$x = 1$

$x = 6$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = - 29, 1, 6$

Paso 9

Obtén el dominio de $\frac{3 (x + 29)}{(x - 1) (x - 6)}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{3 (x + 29)}{(x - 1) (x - 6)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x - 1) (x - 6) = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

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Paso 9.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 9.2.2

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 9.2.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 9.2.3

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.3.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 9.2.3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 9.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 1, 6$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 29$

$- 29 < x < 1$

$1 < x < 6$

$x > 6$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 29$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 29$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 32$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 32$ en la desigualdad original.

$\frac{21}{(- 32) - 6} > \frac{18}{(- 32) - 1}$

Paso 11.1.3

$- 0.55263157$ del lado izquierdo no es mayor que $- 0.\overline{54}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 29 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 29 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{21}{(0) - 6} > \frac{18}{(0) - 1}$

Paso 11.2.3

$- 3.5$ del lado izquierdo es mayor que $- 18$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{21}{(4) - 6} > \frac{18}{(4) - 1}$

Paso 11.3.3

$- 10.5$ del lado izquierdo no es mayor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{21}{(8) - 6} > \frac{18}{(8) - 1}$

Paso 11.4.3

$10.5$ del lado izquierdo es mayor que $2.\overline{571428}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 29$ Falso

$- 29 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

$x < - 29$ Falso

$- 29 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 29 < x < 1$ o $x > 6$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 29, 1) \cup (6, \infty)$

Paso 14