Precálculo Ejemplos

$x^{2} - 12 > - 2 x^{2} - 16 x$

Paso 1

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$- 2 x^{2} - 16 x < x^{2} - 12$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 2 x^{2} - 16 x - x^{2} < - 12$

Paso 2.2

Resta $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 16 x < - 12$

Paso 3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 3 x^{2} - 16 x = - 12$

Paso 4

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{2} - 16 x + 12 = 0$

Paso 5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2} - 16 x + 12$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) - 16 x + 12 = 0$

Paso 5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 16 x$ .

$- (3 x^{2}) - (16 x) + 12 = 0$

Paso 5.1.3

Reescribe $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$- (3 x^{2}) - (16 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Paso 5.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (16 x)$ .

$- (3 x^{2} + 16 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Paso 5.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2} + 16 x) - 1 (- 12)$ .

$- (3 x^{2} + 16 x - 12) = 0$

Paso 5.2

Factoriza.

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Paso 5.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ y cuya suma es $b = 16$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Factoriza $16$ de $16 x$ .

$- (3 x^{2} + 16 (x) - 12) = 0$

Paso 5.2.1.1.2

Reescribe $16$ como $- 2$ más $18$

$- (3 x^{2} + (- 2 + 18) x - 12) = 0$

Paso 5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (3 x^{2} - 2 x + 18 x - 12) = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((3 x^{2} - 2 x) + 18 x - 12) = 0$

Paso 5.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (x (3 x - 2) + 6 (3 x - 2)) = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 2$ .

$- ((3 x - 2) (x + 6)) = 0$

Paso 5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (3 x - 2) (x + 6) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 7

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $3 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 8

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 8.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (3 x - 2) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2}{3}, - 6$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

${(- 8)}^{2} - 12 > - 2 {(- 8)}^{2} - 16 \cdot - 8$

Paso 11.1.3

$52$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < \frac{2}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < \frac{2}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 12 > - 2 {(0)}^{2} - 16 \cdot 0$

Paso 11.2.3

$- 12$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{2}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{2}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

${(3)}^{2} - 12 > - 2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3$

Paso 11.3.3

$- 3$ del lado izquierdo es mayor que $- 66$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < \frac{2}{3}$ Falso

$x > \frac{2}{3}$ Verdadero

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < \frac{2}{3}$ Falso

$x > \frac{2}{3}$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 6$ o $x > \frac{2}{3}$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 6) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Paso 14