Precálculo Ejemplos

$| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$

Paso 1

Escribe $| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$ como una función definida por partes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$2 x^{2} + 7 x - 15 \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ y cuya suma es $b = 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Reescribe $7$ como $- 3$ más $10$

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 1.2.4.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 1.2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 1.2.5

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{2}, - 5$

Paso 1.2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Paso 1.2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 1.2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 \geq 0$

Paso 1.2.8.1.3

$57$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 \geq 0$

Paso 1.2.8.2.3

$- 15$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 1.2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 \geq 0$

Paso 1.2.8.3.3

$45$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Falso

$x > \frac{3}{2}$ Verdadero

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Falso

$x > \frac{3}{2}$ Verdadero

Paso 1.2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 5$ o $x \geq \frac{3}{2}$

Paso 1.3

En la parte donde $2 x^{2} + 7 x - 15$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$

Paso 1.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 0$

Paso 1.5

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.5.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Paso 1.5.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.5.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ y cuya suma es $b = 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

Paso 1.5.2.1.2

Reescribe $7$ como $- 3$ más $10$

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

Paso 1.5.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

Paso 1.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

Paso 1.5.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

Paso 1.5.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

Paso 1.5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 1.5.4

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 1.5.4.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 1.5.4.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 1.5.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 1.5.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 1.5.5

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 1.5.5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 1.5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{2}, - 5$

Paso 1.5.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Paso 1.5.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 1.5.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 0$

Paso 1.5.8.1.3

$57$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.5.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.5.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 0$

Paso 1.5.8.2.3

$- 15$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.5.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 1.5.8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 < 0$

Paso 1.5.8.3.3

$45$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.5.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Verdadero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Verdadero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

Paso 1.5.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

Paso 1.6

En la parte donde $2 x^{2} + 7 x - 15$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$

Paso 1.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Paso 1.8

Simplifica $- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2}) - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Paso 1.8.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Paso 1.8.2.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Paso 1.8.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 15$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Paso 2

Resuelve $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ cuando $x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2}$ .

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Paso 2.1

Resuelve $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Resta $10$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 x^{2} + 7 x - 15 - 10 < 0$

Paso 2.1.1.2

Resta $10$ de $- 15$ .

$2 x^{2} + 7 x - 25 < 0$

Paso 2.1.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} + 7 x - 25 = 0$

Paso 2.1.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.1.4

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 7$ y $c = - 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 25)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.5.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.5.1.3

Suma $49$ y $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Paso 2.1.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.6.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.6.1.3

Suma $49$ y $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Paso 2.1.6.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{249}}{4}$

Paso 2.1.6.4

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{249}}{4}$

Paso 2.1.6.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{249}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{249})}{4}$

Paso 2.1.6.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{249})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{249})}{4}$

Paso 2.1.6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Paso 2.1.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.1.7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.7.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.7.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.7.1.3

Suma $49$ y $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Paso 2.1.7.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{249}}{4}$

Paso 2.1.7.4

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{249}}{4}$

Paso 2.1.7.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{249}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{249})}{4}$

Paso 2.1.7.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (7) - (\sqrt{249})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{249})}{4}$

Paso 2.1.7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

Paso 2.1.8

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

Paso 2.1.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Paso 2.1.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 2.1.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 10$

Paso 2.1.10.1.3

$57$ del lado izquierdo no es menor que $10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.1.10.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.1.10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 10$

Paso 2.1.10.2.3

$- 15$ del lado izquierdo es menor que $10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.1.10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 2.1.10.3.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$2 {(5)}^{2} + 7 (5) - 15 < 10$

Paso 2.1.10.3.3

$70$ del lado izquierdo no es menor que $10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.1.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ Falso

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Verdadero

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Falso

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ Falso

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Verdadero

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Falso

Paso 2.1.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Paso 2.2

Obtén la intersección de $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ y $x \leq - 5 o r + x \geq \frac{3}{2}$ .

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x \leq - 5$ o $\frac{3}{2} \leq x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Paso 3

Resuelve $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ cuando $- 5 < x < \frac{3}{2}$ .

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Paso 3.1

Resuelve $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ en $x$ .

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Paso 3.1.1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.1.1.1

Resta $10$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 2 x^{2} - 7 x + 15 - 10 < 0$

Paso 3.1.1.2

Resta $10$ de $15$ .

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 < 0$

Paso 3.1.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 = 0$

Paso 3.1.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.1.4

Sustituye los valores $a = - 2$ , $b = - 7$ y $c = 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 5)}}{2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.5

Simplifica.

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Paso 3.1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

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Paso 3.1.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.5.1.2.2

Multiplica $8$ por $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.5.1.3

Suma $49$ y $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Paso 3.1.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Paso 3.1.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.6.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

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Paso 3.1.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.6.1.2.2

Multiplica $8$ por $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.6.1.3

Suma $49$ y $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Paso 3.1.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Paso 3.1.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

Paso 3.1.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.1.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.7.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

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Paso 3.1.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.7.1.2.2

Multiplica $8$ por $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.7.1.3

Suma $49$ y $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.7.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Paso 3.1.7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Paso 3.1.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Paso 3.1.8

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Paso 3.1.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Paso 3.1.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.1.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.1.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 7$

Paso 3.1.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 7$ en la desigualdad original.

$- 2 {(- 7)}^{2} - 7 \cdot - 7 + 15 < 10$

Paso 3.1.10.1.3

$- 34$ del lado izquierdo es menor que $10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.1.10.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.1.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 3.1.10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- 2 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 + 15 < 10$

Paso 3.1.10.2.3

$15$ del lado izquierdo no es menor que $10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.1.10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.1.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 3.1.10.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$- 2 {(3)}^{2} - 7 \cdot 3 + 15 < 10$

Paso 3.1.10.3.3

$- 24$ del lado izquierdo es menor que $10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.1.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ Verdadero

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Falso

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Verdadero

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ Verdadero

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Falso

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Verdadero

Paso 3.1.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ o $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Paso 3.2

Obtén la intersección de $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4} or x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ y $- 5 < x < \frac{3}{2}$ .

$- 5 < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ o $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < \frac{3}{2}$

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ o $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Paso 5

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \frac{7 + \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{249}}{4})$

Paso 6