Precálculo Ejemplos

$- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{7}{2} x - 5 < 0$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7}{2} x - 5 < 0$

Paso 1.2

Combina $x$ y $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{x \cdot 7}{2} - 5 < 0$

Paso 1.3

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$

Paso 2

Multiplica cada término en $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$ por $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{2}$ al numerador.

$\frac{- x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Paso 2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- x^{2} - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7 x}{2}$ al numerador.

$- x^{2} + \frac{- 7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$- x^{2} + \frac{- 7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- x^{2} - 7 x - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$- x^{2} - 7 x - 10 < 0 \cdot 2$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$- x^{2} - 7 x - 10 < 0$

Paso 3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{2} - 7 x - 10 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} - 7 x - 10$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 7 x - 10 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 7 x$ .

$- (x^{2}) - (7 x) - 10 = 0$

Paso 4.1.3

Reescribe $- 10$ como $- 1 (10)$ .

$- (x^{2}) - (7 x) - 1 \cdot 10 = 0$

Paso 4.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (7 x)$ .

$- (x^{2} + 7 x) - 1 \cdot 10 = 0$

Paso 4.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 7 x) - 1 (10)$ .

$- (x^{2} + 7 x + 10) = 0$

Paso 4.2

Factoriza.

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Paso 4.2.1

Factoriza $x^{2} + 7 x + 10$ con el método AC.

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Paso 4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $7$ .

$2, 5$

Paso 4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x + 2) (x + 5)) = 0$

Paso 4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x + 2) (x + 5) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 7.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x + 2) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = - 2, - 5$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 2$

$x > - 2$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$- \frac{1}{2} \cdot {(- 8)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot - 8 - 5 < 0$

Paso 10.1.3

$- 9$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$- \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot - 4 - 5 < 0$

Paso 10.2.3

$1$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot 0 - 5 < 0$

Paso 10.3.3

$- 5$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < - 2$ Falso

$x > - 2$ Verdadero

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < - 2$ Falso

$x > - 2$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 5$ o $x > - 2$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 5) \cup (- 2, \infty)$

Paso 13