Precálculo Ejemplos

$| x - \frac{1}{15} | < \frac{1}{5}$

Paso 1

Escribe $| x - \frac{1}{15} | < \frac{1}{5}$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x - \frac{1}{15} \geq 0$

Paso 1.2

Suma $\frac{1}{15}$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq \frac{1}{15}$

Paso 1.3

En la parte donde $x - \frac{1}{15}$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5}$

Paso 1.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x - \frac{1}{15} < 0$

Paso 1.5

Suma $\frac{1}{15}$ a ambos lados de la desigualdad.

$x < \frac{1}{15}$

Paso 1.6

En la parte donde $x - \frac{1}{15}$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- (x - \frac{1}{15}) < \frac{1}{5}$

Paso 1.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x \geq \frac{1}{15} \\ - (x - \frac{1}{15}) < \frac{1}{5} & x < \frac{1}{15} \end{cases}$

Paso 1.8

Simplifica $- (x - \frac{1}{15}) < \frac{1}{5}$ .

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Paso 1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x \geq \frac{1}{15} \\ - x - - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x < \frac{1}{15} \end{cases}$

Paso 1.8.2

Multiplica $- - \frac{1}{15}$ .

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Paso 1.8.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

${\begin{cases} x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x \geq \frac{1}{15} \\ - x + 1 (\frac{1}{15}) < \frac{1}{5} & x < \frac{1}{15} \end{cases}$

Paso 1.8.2.2

Multiplica $\frac{1}{15}$ por $1$ .

${\begin{cases} x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x \geq \frac{1}{15} \\ - x + \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x < \frac{1}{15} \end{cases}$

Paso 2

Resuelve $x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5}$ cuando $x \geq \frac{1}{15}$ .

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Paso 2.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 2.1.1

Suma $\frac{1}{15}$ a ambos lados de la desigualdad.

$x < \frac{1}{5} + \frac{1}{15}$

Paso 2.1.2

Para escribir $\frac{1}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{15}$

Paso 2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x < \frac{3}{5 \cdot 3} + \frac{1}{15}$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$x < \frac{3}{15} + \frac{1}{15}$

Paso 2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x < \frac{3 + 1}{15}$

Paso 2.1.5

Suma $3$ y $1$ .

$x < \frac{4}{15}$

Paso 2.2

Obtén la intersección de $x < \frac{4}{15}$ y $x \geq \frac{1}{15}$ .

$\frac{1}{15} \leq x < \frac{4}{15}$

Paso 3

Resuelve $- x + \frac{1}{15} < \frac{1}{5}$ cuando $x < \frac{1}{15}$ .

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Paso 3.1

Resuelve $- x + \frac{1}{15} < \frac{1}{5}$ en $x$ .

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Paso 3.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 3.1.1.1

Resta $\frac{1}{15}$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x < \frac{1}{5} - \frac{1}{15}$

Paso 3.1.1.2

Para escribir $\frac{1}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- x < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15}$

Paso 3.1.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- x < \frac{3}{5 \cdot 3} - \frac{1}{15}$

Paso 3.1.1.3.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$- x < \frac{3}{15} - \frac{1}{15}$

Paso 3.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- x < \frac{3 - 1}{15}$

Paso 3.1.1.5

Resta $1$ de $3$ .

$- x < \frac{2}{15}$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $- x < \frac{2}{15}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término de $- x < \frac{2}{15}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{2}{15}}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{2}{15}}{- 1}$

Paso 3.1.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{\frac{2}{15}}{- 1}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{2}{15}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{2}{15}$

Paso 3.1.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{2}{15}$ como $- \frac{2}{15}$ .

$x > - \frac{2}{15}$

Paso 3.2

Obtén la intersección de $x > - \frac{2}{15}$ y $x < \frac{1}{15}$ .

$- \frac{2}{15} < x < \frac{1}{15}$

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$- \frac{2}{15} < x < \frac{4}{15}$

Paso 5

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \frac{2}{15}, \frac{4}{15})$

Paso 6