Precálculo Ejemplos

$f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$

Paso 1

Escribe $f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$ como una ecuación.

$y = 26 \cdot e^{0.5 t}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$t = 26 \cdot e^{0.5 y}$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $26 \cdot e^{0.5 y} = t$ .

$26 \cdot e^{0.5 y} = t$

Paso 3.2

Divide cada término en $26 \cdot e^{0.5 y} = t$ por $26$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Divide cada término en $26 \cdot e^{0.5 y} = t$ por $26$ .

$\frac{26 \cdot e^{0.5 y}}{26} = \frac{t}{26}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $26$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{26 \cdot e^{0.5 y}}{26} = \frac{t}{26}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $e^{0.5 y}$ por $1$ .

$e^{0.5 y} = \frac{t}{26}$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{0.5 y}) = \ln (\frac{t}{26})$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{0.5 y})$ ; para ello, mueve $0.5 y$ fuera del logaritmo.

$0.5 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{26})$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$0.5 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{26})$

Paso 3.4.3

Multiplica $0.5$ por $1$ .

$0.5 y = \ln (\frac{t}{26})$

Paso 3.5

Divide cada término en $0.5 y = \ln (\frac{t}{26})$ por $0.5$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Divide cada término en $0.5 y = \ln (\frac{t}{26})$ por $0.5$ .

$\frac{0.5 y}{0.5} = \frac{\ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $0.5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.5 y}{0.5} = \frac{\ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Paso 3.5.3.2

Factoriza $0.5$ de $0.5$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{26})}{0.5 (1)}$

Paso 3.5.3.3

Separa las fracciones.

$y = \frac{1}{0.5} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{26})}{1}$

Paso 3.5.3.4

Divide $1$ por $0.5$ .

$y = 2 \frac{\ln (\frac{t}{26})}{1}$

Paso 3.5.3.5

Divide $\ln (\frac{t}{26})$ por $1$ .

$y = 2 \ln (\frac{t}{26})$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$ es la inversa de $f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (t)) = t$ y $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (t))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (t))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 \ln (\frac{26 \cdot e^{0.5 t}}{26})$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $26$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 \ln (\frac{26 \cdot e^{0.5 t}}{26})$

Paso 5.2.3.2

Divide $e^{0.5 t}$ por $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 \ln (e^{0.5 t})$

Paso 5.2.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $0.5 t$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 (0.5 t \ln (e))$

Paso 5.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 (0.5 t \cdot 1)$

Paso 5.2.6

Multiplica $0.5$ por $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 (0.5 t)$

Paso 5.2.7

Multiplica $2 (0.5 t)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.7.1

Multiplica $0.5$ por $2$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 1 t$

Paso 5.2.7.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = t$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (t))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (t))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (2 \ln (\frac{t}{26}))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot e^{0.5 (2 \ln (\frac{t}{26}))}$

Paso 5.3.3

Simplifica $2 \ln (\frac{t}{26})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot e^{0.5 \ln ({(\frac{t}{26})}^{2})}$

Paso 5.3.4

Simplifica $0.5 \ln ({(\frac{t}{26})}^{2})$ al mover $0.5$ dentro del algoritmo.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot e^{\ln ({({(\frac{t}{26})}^{2})}^{0.5})}$

Paso 5.3.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot {({(\frac{t}{26})}^{2})}^{0.5}$

Paso 5.3.6

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{t}{26})}^{2})}^{0.5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot {(\frac{t}{26})}^{2 \cdot 0.5}$

Paso 5.3.6.2

Multiplica $2$ por $0.5$ .

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot (\frac{t}{26})$

Paso 5.3.7

Simplifica.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot \frac{t}{26}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $26$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot \frac{t}{26}$

Paso 5.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = t$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (t)) = t$ y $f (f^{- 1} (t)) = t$ , entonces $f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$ es la inversa de $f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$ .

$f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$