Precálculo Ejemplos

$f (n) = 2 {(n - 2)}^{3}$

Paso 1

Escribe $f (n) = 2 {(n - 2)}^{3}$ como una ecuación.

$y = 2 {(n - 2)}^{3}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$n = 2 {(y - 2)}^{3}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 {(y - 2)}^{3} = n$ .

$2 {(y - 2)}^{3} = n$

Paso 3.2

Divide cada término en $2 {(y - 2)}^{3} = n$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $2 {(y - 2)}^{3} = n$ por $2$ .

$\frac{2 {(y - 2)}^{3}}{2} = \frac{n}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 {(y - 2)}^{3}}{2} = \frac{n}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide ${(y - 2)}^{3}$ por $1$ .

${(y - 2)}^{3} = \frac{n}{2}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y - 2 = \sqrt[3]{\frac{n}{2}}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{n}{2}}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{n}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Paso 3.4.3.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 3.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.3.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.3.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Paso 3.4.3.5.5

Evalúa el exponente.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Paso 3.4.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} \sqrt[3]{4}}{2}$

Paso 3.4.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.4.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n \cdot 4}}{2}$

Paso 3.4.5.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{n \cdot 4}}{2}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2}$

Paso 3.5

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (n)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (n) = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (n) = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$ es la inversa de $f (n) = 2 {(n - 2)}^{3}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (n)) = n$ y $f (f^{- 1} (n)) = n$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (n))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (n))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 {(n - 2)}^{3})}}{2} + 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 {(n - 2)}^{3}}}{2} + 2$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe $8 {(n - 2)}^{3}$ como ${(2 (n - 2))}^{3}$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 (n - 2))}^{3}}}{2} + 2$

Paso 5.2.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 (n - 2)}{2} + 2$

Paso 5.2.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 n + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Paso 5.2.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 n - 4}{2} + 2$

Paso 5.2.3.1.6

Factoriza $2$ de $2 n - 4$ .

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Paso 5.2.3.1.6.1

Factoriza $2$ de $2 n$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 (n) - 4}{2} + 2$

Paso 5.2.3.1.6.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 n + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Paso 5.2.3.1.6.3

Factoriza $2$ de $2 n + 2 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 (n - 2)}{2} + 2$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 (n - 2)}{2} + 2$

Paso 5.2.3.2.2

Divide $n - 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = n - 2 + 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $n - 2 + 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = n + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $n$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = n$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (n))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (n))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 {((\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) - 2)}^{3}$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $(\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) - 2$ .

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Paso 5.3.3.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 0)}^{3}$

Paso 5.3.3.2

Suma $\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2}$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2})}^{3}$

Paso 5.3.4

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 n}}^{3}}{2^{3}})$

Paso 5.3.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4 n}}^{3}$ como $4 n$ .

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Paso 5.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4 n}$ como ${(4 n)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{({(4 n)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Paso 5.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{(4 n)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Paso 5.3.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{(4 n)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Paso 5.3.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{(4 n)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Paso 5.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{2^{3}})$

Paso 5.3.5.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{2^{3}})$

Paso 5.3.6

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{8})$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.7.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{2 (4)})$

Paso 5.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{2 \cdot 4})$

Paso 5.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = \frac{4 n}{4}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = \frac{4 n}{4}$

Paso 5.3.8.2

Divide $n$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = n$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (n)) = n$ y $f (f^{- 1} (n)) = n$ , entonces $f^{- 1} (n) = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$ es la inversa de $f (n) = 2 {(n - 2)}^{3}$ .

$f^{- 1} (n) = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$