Precálculo Ejemplos

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ , $f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

Paso 2.1.2

La respuesta final es $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{3}{x^{2}})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{3}{x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{3}{x^{2}}$ por $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 x^{2} - 3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 3 {(x + h)}^{2}$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2}) - 3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Factoriza $3$ de $- 3 {(x + h)}^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2}) + 3 (- {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.5.1.3

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- {(x + h)}^{2})$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} - {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = x + h$ .

$\frac{\frac{3 ((x + x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Simplifica.

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Paso 4.1.5.3.1

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (x - x - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.5.3.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (0 - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.5.3.4

Resta $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) \cdot - 1 h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.5.3.5

Factoriza el negativo.

$\frac{\frac{3 (- ((2 x + h) h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Combina exponentes.

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Paso 4.1.5.4.1

Factoriza el negativo.

$\frac{\frac{- (3 (2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.5.4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Factoriza $h$ de $- 3 (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- 3 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h (- 3 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Paso 5