Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$ como una ecuación.

$y = \frac{8 x}{x - 4}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{8 y}{y - 4}$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $y - 4$ .

$(y - 4) (x) = (\frac{8 y}{y - 4}) (y - 4)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x - 4 x = (\frac{8 y}{y - 4}) (y - 4)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $y - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y x - 4 x = \frac{8 y}{y - 4} (y - 4)$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y x - 4 x = 8 y$

Paso 3.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Resta $8 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y x - 4 x - 8 y = 0$

Paso 3.4.2

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x - 8 y = 4 x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y x - 8 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) - 8 y = 4 x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- 8 y$ .

$y (x) + y \cdot - 8 = 4 x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot - 8$ .

$y (x - 8) = 4 x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (x - 8) = 4 x$ por $x - 8$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (x - 8) = 4 x$ por $x - 8$ .

$\frac{y (x - 8)}{x - 8} = \frac{4 x}{x - 8}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 8)}{x - 8} = \frac{4 x}{x - 8}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 x}{x - 8}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$ es la inversa de $f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{(\frac{8 x}{x - 4}) - 8}$

Paso 5.2.3

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Factoriza $4$ de $\frac{8 x}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4}) - 8}$

Paso 5.2.3.2

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4}) + 4 \cdot - 2}$

Paso 5.2.3.3

Factoriza $4$ de $4 \frac{2 x}{x - 4} + 4 (- 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4} - 2)}$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4} - 2)}$

Paso 5.2.3.5

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{\frac{8 x}{x - 4}}{\frac{2 x}{x - 4} - 2}$

Paso 5.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{x - 4} - 2}$

Paso 5.2.5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{x - 4} - 2 \cdot \frac{x - 4}{x - 4}}$

Paso 5.2.5.2

Combina $- 2$ y $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{x - 4} + \frac{- 2 (x - 4)}{x - 4}}$

Paso 5.2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 (x - 4)}{x - 4}}$

Paso 5.2.5.4

Reescribe $\frac{2 x - 2 (x - 4)}{x - 4}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.4.1

Factoriza $2$ de $2 x - 2 (x - 4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x) - 2 (x - 4)}{x - 4}}$

Paso 5.2.5.4.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 (x - 4)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 4))}{x - 4}}$

Paso 5.2.5.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- (x - 4))$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x - (x - 4))}{x - 4}}$

Paso 5.2.5.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x - x + 4)}{x - 4}}$

Paso 5.2.5.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x - x + 4)}{x - 4}}$

Paso 5.2.5.4.4

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 4)}{x - 4}}$

Paso 5.2.5.4.5

Suma $0$ y $4$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 4}{x - 4}}$

Paso 5.2.5.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{8}{x - 4}}$

Paso 5.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot (1 (\frac{x - 4}{8}))$

Paso 5.2.7

Multiplica $\frac{x - 4}{8}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{8}$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 (x)}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{8}$

Paso 5.2.8.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{8}$

Paso 5.2.8.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{x}{x - 4} \cdot (x - 4)$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $x - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{x}{x - 4} \cdot (x - 4)$

Paso 5.2.9.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{4 x}{x - 8})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 (\frac{4 x}{x - 8})}{(\frac{4 x}{x - 8}) - 4}$

Paso 5.3.3

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $8$ y $(\frac{4 x}{x - 8}) - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $8 (\frac{4 x}{x - 8})$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{(\frac{4 x}{x - 8}) - 4}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $\frac{4 x}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8}) - 4}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8}) + 4 (- 1)}$

Paso 5.3.3.1.2.3

Factoriza $4$ de $4 \frac{x}{x - 8} + 4 (- 1)$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8} - 1)}$

Paso 5.3.3.1.2.4

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8} - 1)}$

Paso 5.3.3.1.2.5

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 8})}{\frac{x}{x - 8} - 1}$

Paso 5.3.3.2

Combina $2$ y $\frac{4 x}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x}{x - 8} - 1}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x}{x - 8} - 1 \cdot \frac{x - 8}{x - 8}}$

Paso 5.3.4.2

Combina $- 1$ y $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x}{x - 8} + \frac{- (x - 8)}{x - 8}}$

Paso 5.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x - (x - 8)}{x - 8}}$

Paso 5.3.4.4

Reescribe $\frac{x - (x - 8)}{x - 8}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x - x + 8}{x - 8}}$

Paso 5.3.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x - x + 8}{x - 8}}$

Paso 5.3.4.4.3

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{0 + 8}{x - 8}}$

Paso 5.3.4.4.4

Suma $0$ y $8$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{8}{x - 8}}$

Paso 5.3.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{x - 8}}{\frac{8}{x - 8}}$

Paso 5.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 x}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{8}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.7.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 (x)}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{8}$

Paso 5.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 x}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{8}$

Paso 5.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{x}{x - 8} \cdot (x - 8)$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $x - 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{x}{x - 8} \cdot (x - 8)$

Paso 5.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$ es la inversa de $f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$