Precálculo Ejemplos

$f (x) = {(2 x + 5)}^{3}$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(2 x + 5)}^{3}$ como una ecuación.

$y = {(2 x + 5)}^{3}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(2 y + 5)}^{3}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(2 y + 5)}^{3} = x$ .

${(2 y + 5)}^{3} = x$

Paso 3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$2 y + 5 = \sqrt[3]{x}$

Paso 3.3

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = \sqrt[3]{x} - 5$

Paso 3.4

Divide cada término en $2 y = \sqrt[3]{x} - 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $2 y = \sqrt[3]{x} - 5$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$ es la inversa de $f (x) = {(2 x + 5)}^{3}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x + 5)}^{3}}}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x + 5)}^{3}} - 5}{2}$

Paso 5.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Paso 5.2.5

Combina los términos opuestos en $2 x + 5 - 5$ .

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Paso 5.2.5.1

Resta $5$ de $5$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.5.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.6.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) + 5)}^{3}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5)}^{3}$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5)}^{3}$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} + 2 (- \frac{5}{2}) + 5)}^{3}$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{2}$ al numerador.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5)}^{3}$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5)}^{3}$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} - 5 + 5)}^{3}$

Paso 5.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.4.1

Combina los términos opuestos en $\sqrt[3]{x} - 5 + 5$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Paso 5.3.4.1.2

Suma $\sqrt[3]{x}$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Paso 5.3.4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Paso 5.3.4.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x^{\frac{3}{3}}$

Paso 5.3.4.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x^{\frac{3}{3}}$

Paso 5.3.4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Paso 5.3.4.2.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$ es la inversa de $f (x) = {(2 x + 5)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$