Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 1}{x - 2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x - 1}{x - 2}$ como una ecuación.

$y = \frac{x - 1}{x - 2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y - 1}{y - 2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y - 1}{y - 2} = x$ .

$\frac{y - 1}{y - 2} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y - 2, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y - 2, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y - 2$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{y - 1}{y - 2} = x$ por $y - 2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{y - 1}{y - 2} = x$ por $y - 2$ .

$\frac{y - 1}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 1}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y - 1 = x (y - 2)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = x y + x \cdot - 2$

Paso 3.3.3.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$y - 1 = x y - 2 x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 1 - x y = - 2 x$

Paso 3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y - x y = - 2 x + 1$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y - x y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = - 2 x + 1$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = - 2 x + 1$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = - 2 x + 1$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (1 - x) = - 2 x + 1$ por $1 - x$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (1 - x) = - 2 x + 1$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{- 2 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{- 2 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 2 x + 1}{1 - x}$

Paso 3.4.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{- (2 x) + 1}{1 - x}$

Paso 3.4.4.3.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{- (2 x) - 1 (- 1)}{1 - x}$

Paso 3.4.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{- (2 x - 1)}{1 - x}$

Paso 3.4.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.4.3.5.1

Reescribe $- (2 x - 1)$ como $- 1 (2 x - 1)$ .

$y = \frac{- 1 (2 x - 1)}{1 - x}$

Paso 3.4.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 x - 1}{1 - x}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x - 1}{1 - x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x - 1}{1 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 1}{x - 2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{2 (\frac{x - 1}{x - 2}) - 1}{1 - (\frac{x - 1}{x - 2})}$

Paso 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{2 \frac{x - 1}{x - 2} - 1}{1 - \frac{x - 1}{x - 2}}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - (\frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{x - 1}{x - 2}) - 1}{1 - \frac{x - 1}{x - 2}})$

Paso 5.2.3.2

Combinar.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{x - 1}{x - 2}) - 1)}{(x - 2) (1 - \frac{x - 1}{x - 2})}$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{x - 1}{x - 2})) + (x - 2) \cdot - 1}{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (- \frac{x - 1}{x - 2})}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 5.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x - 1}{x - 2}$ al numerador.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{x - 1}{x - 2})) + (x - 2) \cdot - 1}{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (\frac{- (x - 1)}{x - 2})}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{x - 1}{x - 2})) + (x - 2) \cdot - 1}{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (\frac{- (x - 1)}{x - 2})}$

Paso 5.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{x - 1}{x - 2})) + (x - 2) \cdot - 1}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.1

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) \cdot 2 \frac{x - 1}{x - 2} + (x - 2) \cdot - 1$ .

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Paso 5.2.6.1.1

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) \cdot 2 \frac{x - 1}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{x - 1}{x - 2})) + (x - 2) \cdot - 1}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.1.2

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) \cdot - 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{x - 1}{x - 2})) + (x - 2) (- 1)}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.1.3

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) (2 \frac{x - 1}{x - 2}) + (x - 2) (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (2 (\frac{x - 1}{x - 2}) - 1)}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.2

Combina $2$ y $\frac{x - 1}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{2 (x - 1)}{x - 2} - 1)}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{2 (x - 1)}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.4

Combina $- 1$ y $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{2 (x - 1)}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{2 (x - 1) - (x - 2)}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.6

Reescribe $\frac{2 (x - 1) - (x - 2)}{x - 2}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.6.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - (x - 2)}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{2 x - 2 - (x - 2)}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{2 x - 2 - x + 2}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.6.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{2 x - 2 - x + 2}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.6.5

Resta $x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{x - 2 + 2}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.6.6

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{x + 0}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.6.7

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{(x - 2) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.7

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.7.1

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{x - 2 - (x - 1)}$

Paso 5.2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{x - 2 - x + 1}$

Paso 5.2.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{x - 2 - x + 1}$

Paso 5.2.7.4

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{0 - 2 + 1}$

Paso 5.2.7.5

Resta $2$ de $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{- 2 + 1}$

Paso 5.2.7.6

Suma $- 2$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{- 1}$

Paso 5.2.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.8.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{(x - 2) \frac{x}{x - 2}}{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = - (- 1 \cdot ((x - 2) (\frac{x}{x - 2})))$

Paso 5.2.8.2

Reescribe $- 1 \cdot ((x - 2) \frac{x}{x - 2})$ como $- ((x - 2) \frac{x}{x - 2})$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = (x - 2) (\frac{x}{x - 2})$

Paso 5.2.8.3

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 5.2.8.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = (x - 2) (\frac{x}{x - 2})$

Paso 5.2.8.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x - 2}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{2 x - 1}{1 - x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{(- \frac{2 x - 1}{1 - x}) - 1}{(- \frac{2 x - 1}{1 - x}) - 2}$

Paso 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $\frac{- \frac{2 x - 1}{1 - x} - 1}{- \frac{2 x - 1}{1 - x} - 2}$ por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{- \frac{2 x - 1}{1 - x} - 1}{- \frac{2 x - 1}{1 - x} - 2}$

Paso 5.3.3.2

Combinar.

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (- \frac{2 x - 1}{1 - x} - 1)}{(1 - x) (- \frac{2 x - 1}{1 - x} - 2)}$

Paso 5.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.5

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 5.3.5.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 x - 1}{1 - x}$ al numerador.

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{- (2 x - 1)}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.5.1.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{- (2 x - 1)}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.5.1.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.5.2

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 5.3.5.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 x - 1}{1 - x}$ al numerador.

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{- (2 x - 1)}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{- (2 x - 1)}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 1}{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- (2 x) + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- 2 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- 2 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- 2 x + 1 + 1 \cdot - 1 - x \cdot - 1}{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- 2 x + 1 - 1 - x \cdot - 1}{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.6

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 5.3.6.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- 2 x + 1 - 1 + 1 x}{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- 2 x + 1 - 1 + x}{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.7

Suma $- 2 x$ y $x$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- x + 1 - 1}{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.8

Resta $1$ de $1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- x + 0}{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.9

Suma $- x$ y $0$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- x}{- (2 x - 1) + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- x}{- (2 x) + 1 + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- x}{- 2 x + 1 + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- x}{- 2 x + 1 + (1 - x) \cdot - 2}$

Paso 5.3.7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- x}{- 2 x + 1 + 1 \cdot - 2 - x \cdot - 2}$

Paso 5.3.7.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- x}{- 2 x + 1 - 2 - x \cdot - 2}$

Paso 5.3.7.6

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- x}{- 2 x + 1 - 2 + 2 x}$

Paso 5.3.7.7

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- x}{0 + 1 - 2}$

Paso 5.3.7.8

Suma $0$ y $1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- x}{1 - 2}$

Paso 5.3.7.9

Resta $2$ de $1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{- x}{- 1}$

Paso 5.3.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.8.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = \frac{x}{1}$

Paso 5.3.8.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (- \frac{2 x - 1}{1 - x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x - 1}{1 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 1}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x - 1}{1 - x}$