Precálculo Ejemplos

$\cos (\frac{5 π}{12}) + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{5 π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.1.1

Divide $\frac{5 π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1.1.2

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1.1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1.1.7

Simplifica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1.1.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1.1.7.1.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1.1.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1.1.7.1.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1.1.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1.1.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{π}{12})$

Paso 1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.2.1

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Paso 1.2.2

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Paso 1.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Paso 1.2.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Paso 1.2.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

Paso 1.2.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.2.7

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.2.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.2.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.2.7.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.2.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Paso 1.2.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Paso 2.2

Suma $\sqrt{6}$ y $\sqrt{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Paso 2.3

Suma $- \sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} + 0}{4}$

Paso 2.4

Suma $2 \sqrt{6}$ y $0$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{4}$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (\sqrt{6})}{4}$

Paso 2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Forma decimal:

$1.22474487 \dots$