Precálculo Ejemplos

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(2)}^{3} + 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 + 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por ${(2)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$8 + 2^{1} {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

Paso 4.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 + 2^{1 + 2} - 4 \cdot 2 - 8$

Paso 4.1.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$8 + 2^{3} - 4 \cdot 2 - 8$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 + 8 - 4 \cdot 2 - 8$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$8 + 8 - 8 - 8$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $8$ y $8$ .

$16 - 8 - 8$

Paso 4.2.2

Resta $8$ de $16$ .

$8 - 8$

Paso 4.2.3

Resta $8$ de $8$ .

$0$

Paso 5

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}{x - 2}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(2)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$
	$1$	$4$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 4)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$
	$1$	$4$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$
	$1$	$4$	$4$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 8)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$	$8$
	$1$	$4$	$4$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$	$8$
	$1$	$4$	$4$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + 4 x + 4$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} + 4 x + 4$

Paso 7

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 2) + x^{2} + 4 x + 2^{2}$

Paso 7.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 7.3

Reescribe el polinomio.

$(x - 2) + x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}$

Paso 7.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 2) + {(x + 2)}^{2}$

$(x - 2) {(x + 2)}^{2}$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - 4 x - 8 = 0$

Paso 8.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2) = 0$

Paso 8.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 4) = 0$

Paso 8.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 8.4

Factoriza.

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Paso 8.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 8.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 8.5

Combina exponentes.

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Paso 8.5.1

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 8.5.2

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 8.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) = 0$

Paso 8.5.4

Suma $1$ y $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 10

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 10.2

Resuelve ${(x + 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 10.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 11

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 11.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 13