Precálculo Ejemplos

$x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$0$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 0$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

Paso 4.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 - 42 {(0)}^{2}$

Paso 4.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 - 42 \cdot 0$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 42$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Paso 4.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 5

Como $0$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 0$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}}{x + 0}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(1)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$1$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 42)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 42)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 1 x^{2} + (- 42) x + 0$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} + x^{2} - 42 x$

Paso 7

Factoriza $x$ de $x^{3} + x^{2} - 42 x$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x^{2} - 42 x)$

Paso 7.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 42 x)$

Paso 7.3

Factoriza $x$ de $- 42 x$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 42)$

Paso 7.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + x) + x \cdot - 42)$

Paso 7.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + x) + x \cdot - 42$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + x - 42))$

Paso 8

Factoriza.

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Paso 8.1

Factoriza $x^{2} + x - 42$ con el método AC.

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Paso 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 42$ y cuya suma es $1$ .

$- 6, 7$

Paso 8.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 0) (x ((x - 6) (x + 7)))$

Paso 8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 0) (x (x - 6) (x + 7))$

Paso 9

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{3} - 42 x^{2} = 0$

Paso 9.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} x - 42 x^{2} = 0$

Paso 9.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $- 42 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 42 = 0$

Paso 9.1.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} x$ .

$x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42 = 0$

Paso 9.1.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42$ .

$x^{2} (x^{2} + x - 42) = 0$

Paso 9.2

Factoriza.

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Paso 9.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 42$ con el método AC.

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Paso 9.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 42$ y cuya suma es $1$ .

$- 6, 7$

Paso 9.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x^{2} ((x - 6) (x + 7)) = 0$

Paso 9.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 7 = 0$

Paso 11

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 11.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 11.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 11.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 11.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 12

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 12.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 13

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 13.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$ verdadera.

$x = 0, 6, - 7$

Paso 15