Precálculo Ejemplos

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = \frac{1}{2}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.4.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1}{2^{3}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{8} - 13 (\frac{1}{8}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.8

Combina $- 13$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 13}{8} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.10

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 \frac{1}{2^{2}} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 (\frac{1}{4}) + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.13.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 (3) \frac{1}{4} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.13.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.13.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.13.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 3 (\frac{1}{2}) + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.14

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Paso 4.1.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.15.1

Factoriza $2$ de $64$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 2 (32) \frac{1}{2} - 32$

Paso 4.1.15.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 2 \cdot 32 \frac{1}{2} - 32$

Paso 4.1.15.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 32 - 32$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$32 - 32 + \frac{1 - 13}{8} + \frac{3}{2}$

Paso 4.2.2

Resta $13$ de $1$ .

$32 - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Paso 4.3

Obtén el denominador común

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Paso 4.3.1

Escribe $32$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{32}{1} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{32}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32}{1} \cdot \frac{8}{8} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Paso 4.3.3

Multiplica $\frac{32}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Paso 4.3.4

Escribe $- 32$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32}{1} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{- 32}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Paso 4.3.6

Multiplica $\frac{- 32}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Paso 4.3.7

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 4.3.8

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 4.3.9

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3 \cdot 4}{8}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{32 \cdot 8 - 32 \cdot 8 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

Paso 4.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1

Multiplica $32$ por $8$ .

$\frac{256 - 32 \cdot 8 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

Paso 4.5.2

Multiplica $- 32$ por $8$ .

$\frac{256 - 256 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

Paso 4.5.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{256 - 256 - 12 + 12}{8}$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Resta $256$ de $256$ .

$\frac{0 - 12 + 12}{8}$

Paso 4.6.2

Resta $12$ de $0$ .

$\frac{- 12 + 12}{8}$

Paso 4.6.3

Suma $- 12$ y $12$ .

$\frac{0}{8}$

Paso 4.6.4

Divide $0$ por $8$ .

$0$

Paso 5

Como $\frac{1}{2}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - \frac{1}{2}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32}{x - \frac{1}{2}}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 13)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$
	$2$	$- 12$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 12)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(- 6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$	$0$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(64)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$
	$2$	$- 12$	$0$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(64)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(32)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 32)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$	$32$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$	$32$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{3} + - 12 x^{2} + (0) x + 64$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 64$

Paso 7

Factoriza $2$ de $2 x^{3} - 12 x^{2} + 64$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 12 x^{2} + 64)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $- 12 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 64)$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $64$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 32)$

Paso 7.4

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 32)$

Paso 7.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 32$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2} + 32))$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Reagrupa los términos.

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Paso 8.2

Factoriza $32$ de $64 x - 32$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $32$ de $64 x$ .

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Paso 8.2.2

Factoriza $32$ de $- 32$ .

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Paso 8.2.3

Factoriza $32$ de $32 (2 x) + 32 (- 1)$ .

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Paso 8.3

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Paso 8.3.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 13 x^{3}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2} = 0$

Paso 8.3.3

Factoriza $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Paso 8.3.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Paso 8.3.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Paso 8.4

Factoriza.

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Paso 8.4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.4.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ y cuya suma es $b = - 13$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Factoriza $- 13$ de $- 13 x$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe $- 13$ como $- 1$ más $- 12$

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6) = 0$

Paso 8.4.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6) = 0$

Paso 8.4.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.4.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6) = 0$

Paso 8.4.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1)) = 0$

Paso 8.4.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6)) = 0$

Paso 8.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Paso 8.5

Factoriza $2 x - 1$ de $32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

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Paso 8.5.1

Factoriza $2 x - 1$ de $32 (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Paso 8.5.2

Factoriza $2 x - 1$ de $x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6)) = 0$

Paso 8.5.3

Factoriza $2 x - 1$ de $(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6)) = 0$

Paso 8.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Paso 8.7

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.7.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 8.7.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Paso 8.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Paso 8.7.2

Suma $2$ y $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Paso 8.8

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2}) = 0$

Paso 8.9

Reordena los términos.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32) = 0$

Paso 8.10

Factoriza.

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Paso 8.10.1

Reescribe $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ en forma factorizada.

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Paso 8.10.1.1

Factoriza $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 8.10.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 8.10.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Paso 8.10.1.1.3

Sustituye $- 2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 8.10.1.1.3.1

Sustituye $- 2$ en el polinomio.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Paso 8.10.1.1.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Paso 8.10.1.1.3.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

Paso 8.10.1.1.3.4

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$- 8 - 24 + 32$

Paso 8.10.1.1.3.5

Resta $24$ de $- 8$ .

$- 32 + 32$

Paso 8.10.1.1.3.6

Suma $- 32$ y $32$ .

$0$

Paso 8.10.1.1.4

Como $- 2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

Paso 8.10.1.1.5

Divide $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ por $x + 2$ .

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Paso 8.10.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Paso 8.10.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

Paso 8.10.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 8.10.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 8.10.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Paso 8.10.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 8.10.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 8 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 8.10.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Paso 8.10.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 8 x^{2} - 16 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Paso 8.10.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Paso 8.10.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Paso 8.10.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $16 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Paso 8.10.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

Paso 8.10.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $16 x + 32$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

Paso 8.10.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

Paso 8.10.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 8 x + 16$

Paso 8.10.1.1.6

Escribe $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ como un conjunto de factores.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Paso 8.10.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 8.10.1.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Paso 8.10.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 8.10.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Paso 8.10.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Paso 8.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 10

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 11

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 11.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 12

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 12.2

Resuelve ${(x - 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 12.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, - 2, 4$

Paso 14