Precálculo Ejemplos

$x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 4 \cdot 1 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Paso 4.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$1 + 4 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Paso 4.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 4 - 14 \cdot 1 - 36 \cdot 1 + 45$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 14$ por $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 \cdot 1 + 45$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 + 45$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $1$ y $4$ .

$5 - 14 - 36 + 45$

Paso 4.2.2

Resta $14$ de $5$ .

$- 9 - 36 + 45$

Paso 4.2.3

Resta $36$ de $- 9$ .

$- 45 + 45$

Paso 4.2.4

Suma $- 45$ y $45$ .

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$	$5$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 14)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$- 9$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 9)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 36)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 45)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 45)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(45)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (- 9) x - 45$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} + 5 x^{2} - 9 x - 45$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 1) (x^{3} + 5 x^{2}) - 9 x - 45$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

$(x - 1) x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 5$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 9)$

Paso 9

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 3^{2})$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x - 1) + (x + 5) ((x + 3) (x - 3))$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) + (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

Paso 11

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 11.1

Reagrupa los términos.

$4 x^{3} - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Paso 11.2

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 36 x$ .

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Paso 11.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Paso 11.2.2

Factoriza $4 x$ de $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Paso 11.2.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Paso 11.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Paso 11.4

Factoriza.

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Paso 11.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Paso 11.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Paso 11.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Paso 11.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 14 u + 45 = 0$

Paso 11.7

Factoriza $u^{2} - 14 u + 45$ con el método AC.

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Paso 11.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $45$ y cuya suma es $- 14$ .

$- 9, - 5$

Paso 11.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 5) = 0$

Paso 11.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 5) = 0$

Paso 11.9

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 5) = 0$

Paso 11.10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Paso 11.11

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

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Paso 11.11.1

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $4 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Paso 11.11.2

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x + x^{2} - 5) = 0$

Paso 11.12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 u + u^{2} - 5) = 0$

Paso 11.13

Factoriza $4 u + u^{2} - 5$ con el método AC.

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Paso 11.13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $4$ .

$- 1, 5$

Paso 11.13.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 5)) = 0$

Paso 11.14

Factoriza.

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Paso 11.14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Paso 11.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$

Paso 12

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 13

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 13.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 14

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 14.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 15

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 15.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 15.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 16

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 16.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 16.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 17

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3, 1, - 5$

Paso 18