Precálculo Ejemplos

$x^{4} - 1$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(1)}^{4} - 1$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 1$

Paso 4.2

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} - 1}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$	$1$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 1 x^{2} + (1) x + 1$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} + x^{2} + x + 1$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2}) + x + 1$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 1$ .

$(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)$

Paso 9

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{4} = 1$

Paso 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Paso 11

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 12

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 12.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 12.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 12.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 13