Precálculo Ejemplos

$x^{4} + 7 x^{2} - 144$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 9, \pm 12, \pm 16, \pm 18, \pm 24, \pm 36, \pm 48, \pm 72, \pm 144$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 9, \pm 12, \pm 16, \pm 18, \pm 24, \pm 36, \pm 48, \pm 72, \pm 144$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(3)}^{4} + 7 {(3)}^{2} - 144$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$81 + 7 {(3)}^{2} - 144$

Paso 4.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$81 + 7 \cdot 9 - 144$

Paso 4.1.3

Multiplica $7$ por $9$ .

$81 + 63 - 144$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $81$ y $63$ .

$144 - 144$

Paso 4.2.2

Resta $144$ de $144$ .

$0$

Paso 5

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} + 7 x^{2} - 144}{x - 3}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$3$	$1$	$0$	$7$	$0$	$- 144$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$3$	$1$	$0$	$7$	$0$	$- 144$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$7$	$0$	$- 144$
		$3$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$7$	$0$	$- 144$
		$3$
	$1$	$3$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(7)$ .

$3$	$1$	$0$	$7$	$0$	$- 144$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$7$	$0$	$- 144$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$16$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(16)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(48)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$7$	$0$	$- 144$
		$3$	$9$	$48$
	$1$	$3$	$16$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$7$	$0$	$- 144$
		$3$	$9$	$48$
	$1$	$3$	$16$	$48$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(48)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(144)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 144)$ .

$3$	$1$	$0$	$7$	$0$	$- 144$
		$3$	$9$	$48$	$144$
	$1$	$3$	$16$	$48$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$7$	$0$	$- 144$
		$3$	$9$	$48$	$144$
	$1$	$3$	$16$	$48$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 3 x^{2} + (16) x + 48$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} + 3 x^{2} + 16 x + 48$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2}) + 16 x + 48$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 3) + x^{2} (x + 3) + 16 (x + 3)$

$(x - 3) x^{2} (x + 3) + 16 (x + 3)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 3$ .

$(x - 3) (x + 3) (x^{2} + 16)$

Paso 9

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} + 7 u - 144 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 10

Factoriza $u^{2} + 7 u - 144$ con el método AC.

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Paso 10.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 144$ y cuya suma es $7$ .

$- 9, 16$

Paso 10.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 9) (u + 16) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

$u + 16 = 0$

Paso 12

Establece $u - 9$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 12.1

Establece $u - 9$ igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

Paso 12.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 9$

Paso 13

Establece $u + 16$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 13.1

Establece $u + 16$ igual a $0$ .

$u + 16 = 0$

Paso 13.2

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 16$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 9) (u + 16) = 0$ verdadera.

$u = 9, - 16$

Paso 15

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Paso 16

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 9$

Paso 17

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Paso 17.2

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 17.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 17.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 17.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 17.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 17.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 17.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 18

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Paso 19

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 19.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = - 16$

Paso 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Paso 19.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Paso 19.3.1

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Paso 19.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Paso 19.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Paso 19.3.4

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Paso 19.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 4$

Paso 19.3.6

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 4 i$

Paso 19.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 19.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 4 i$

Paso 19.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 4 i$

Paso 19.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4 i, - 4 i$

Paso 20

La solución a $x^{4} + 7 x^{2} - 144 = 0$ es $x = 3, - 3, 4 i, - 4 i$ .

$x = 3, - 3, 4 i, - 4 i$

Paso 21