Precálculo Ejemplos

$x^{4} - 9 x^{2}$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$0$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(0)}^{4} - 9 {(0)}^{2}$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 0$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 9 {(0)}^{2}$

Paso 4.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 9 \cdot 0$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 5

Como $0$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 0$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} - 9 x^{2}}{x + 0}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$0$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 9)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (- 9) x + 0$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} - 9 x$

Paso 7

Factoriza $x$ de $x^{3} - 9 x$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} - 9 x)$

Paso 7.2

Factoriza $x$ de $- 9 x$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot - 9)$

Paso 7.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$(x + 0) (x (x^{2} - 9))$

Paso 8

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x + 0) (x (x^{2} - 3^{2}))$

Paso 9

Factoriza.

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Paso 9.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x + 0) (x ((x + 3) (x - 3)))$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 0) (x (x + 3) (x - 3))$

Paso 10

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 10.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} = 0$

Paso 10.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$u^{2} - 9 u = 0$

Paso 10.3

Factoriza $u$ de $u^{2} - 9 u$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $u$ de $u^{2}$ .

$u \cdot u - 9 u = 0$

Paso 10.3.2

Factoriza $u$ de $- 9 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 9 = 0$

Paso 10.3.3

Factoriza $u$ de $u \cdot u + u \cdot - 9$ .

$u (u - 9) = 0$

Paso 10.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 9) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Paso 12

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 12.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 12.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 12.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 12.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 12.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 13

Establece $x^{2} - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x^{2} - 9$ igual a $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $x^{2} - 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 13.2.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 9$

Paso 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Paso 13.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 13.2.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 13.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 13.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 13.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 13.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 13.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3, - 3$

Paso 15