Precálculo Ejemplos

$x^{5} - x^{4} + 7 x^{3} - 7 x^{2} + 12 x - 12$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(1)}^{5} - {(1)}^{4} + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - {(1)}^{4} + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 1 \cdot 1 + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Paso 4.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 1 + 7 \cdot 1 - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Paso 4.1.5

Multiplica $7$ por $1$ .

$1 - 1 + 7 - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Paso 4.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 1 + 7 - 7 \cdot 1 + 12 (1) - 12$

Paso 4.1.7

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$1 - 1 + 7 - 7 + 12 (1) - 12$

Paso 4.1.8

Multiplica $12$ por $1$ .

$1 - 1 + 7 - 7 + 12 - 12$

$1 - 1 + 7 - 7 + 12 - 12$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$0 + 7 - 7 + 12 - 12$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $7$ .

$7 - 7 + 12 - 12$

Paso 4.2.3

Resta $7$ de $7$ .

$0 + 12 - 12$

Paso 4.2.4

Suma $0$ y $12$ .

$12 - 12$

Paso 4.2.5

Resta $12$ de $12$ .

$0$

$0$

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{5} - x^{4} + 7 x^{3} - 7 x^{2} + 12 x - 12}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$
	$1$	$0$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(7)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$7$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(7)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(7)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 7)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$
	$1$	$0$	$7$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$
	$1$	$0$	$7$	$0$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$
	$1$	$0$	$7$	$0$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$
	$1$	$0$	$7$	$0$	$12$

Paso 6.11

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(12)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(12)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$	$12$
	$1$	$0$	$7$	$0$	$12$

Paso 6.12

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$	$12$
	$1$	$0$	$7$	$0$	$12$	$0$

Paso 6.13

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 0 x + 12$

Paso 6.14

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{4} + 7 x^{2} + 12$

$x^{4} + 7 x^{2} + 12$

Paso 7

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x - 1) {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12$

Paso 8

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$(x - 1) u^{2} + 7 u + 12$

Paso 9

Factoriza $u^{2} + 7 u + 12$ con el método AC.

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Paso 9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $7$ .

$3, 4$

Paso 9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 1) + (u + 3) (u + 4)$

$(x - 1) (u + 3) (u + 4)$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$

Paso 11

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 11.1

Reagrupa los términos.

$x^{5} + 7 x^{3} + 12 x - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Paso 11.2

Factoriza $x$ de $x^{5} + 7 x^{3} + 12 x$ .

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Paso 11.2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 7 x^{3} + 12 x - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Paso 11.2.2

Factoriza $x$ de $7 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (7 x^{2}) + 12 x - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Paso 11.2.3

Factoriza $x$ de $12 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (7 x^{2}) + x \cdot 12 - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Paso 11.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x (7 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 7 x^{2}) + x \cdot 12 - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Paso 11.2.5

Factoriza $x$ de $x (x^{4} + 7 x^{2}) + x \cdot 12$ .

$x (x^{4} + 7 x^{2} + 12) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

$x (x^{4} + 7 x^{2} + 12) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Paso 11.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Paso 11.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (u^{2} + 7 u + 12) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Paso 11.5

Factoriza $u^{2} + 7 u + 12$ con el método AC.

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Paso 11.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $7$ .

$3, 4$

Paso 11.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x ((u + 3) (u + 4)) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

$x ((u + 3) (u + 4)) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Paso 11.6

Factoriza.

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Paso 11.6.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x ((x^{2} + 3) (x^{2} + 4)) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Paso 11.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Paso 11.7

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Paso 11.8

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 7 u - 12 = 0$

Paso 11.9

Factoriza por agrupación.

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Paso 11.9.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 12 = 12$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 11.9.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 u$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 7 u - 12 = 0$

Paso 11.9.1.2

Reescribe $- 7$ como $- 3$ más $- 4$

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + (- 3 - 4) u - 12 = 0$

Paso 11.9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 3 u - 4 u - 12 = 0$

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 3 u - 4 u - 12 = 0$

Paso 11.9.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 11.9.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 3 u - 4 u - 12 = 0$

Paso 11.9.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + u (- u - 3) + 4 (- u - 3) = 0$

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + u (- u - 3) + 4 (- u - 3) = 0$

Paso 11.9.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u - 3$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + (- u - 3) (u + 4) = 0$

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + (- u - 3) (u + 4) = 0$

Paso 11.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Paso 11.11

Factoriza $x^{2} + 4$ de $x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

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Paso 11.11.1

Factoriza $x^{2} + 4$ de $x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3)) + (- x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Paso 11.11.2

Factoriza $x^{2} + 4$ de $(- x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3)) + (x^{2} + 4) (- x^{2} - 3) = 0$

Paso 11.11.3

Factoriza $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3)) + (x^{2} + 4) (- x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

$(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

Paso 11.12

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Paso 11.13

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.13.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 11.13.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x^{2} + 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Paso 11.13.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x^{2} + 4) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

$(x^{2} + 4) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Paso 11.13.2

Suma $1$ y $2$ .

$(x^{2} + 4) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

$(x^{2} + 4) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Paso 11.14

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$(x^{2} + 4) (x^{3} + 3 x - x^{2} - 3) = 0$

Paso 11.15

Reordena los términos.

$(x^{2} + 4) (x^{3} - x^{2} + 3 x - 3) = 0$

Paso 11.16

Factoriza.

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Paso 11.16.1

Reescribe $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ en forma factorizada.

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Paso 11.16.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 11.16.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{2} + 4) ((x^{3} - x^{2}) + 3 x - 3) = 0$

Paso 11.16.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x^{2} + 4) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

$(x^{2} + 4) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

Paso 11.16.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$(x^{2} + 4) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

$(x^{2} + 4) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Paso 11.16.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 4) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

$(x^{2} + 4) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

$(x^{2} + 4) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

Paso 12

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Paso 13

Establece $x^{2} + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x^{2} + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $x^{2} + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 13.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 4$

Paso 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Paso 13.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Paso 13.2.3.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Paso 13.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Paso 13.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Paso 13.2.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 13.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Paso 13.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

$x = \pm 2 i$

Paso 13.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 13.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i$

Paso 13.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i$

Paso 13.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i, - 2 i$

$x = 2 i, - 2 i$

$x = 2 i, - 2 i$

$x = 2 i, - 2 i$

Paso 14

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 14.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

$x = 1$

Paso 15

Establece $x^{2} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 15.1

Establece $x^{2} + 3$ igual a $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Paso 15.2

Resuelve $x^{2} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 15.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 3$

Paso 15.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Paso 15.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Paso 15.2.3.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Paso 15.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Paso 15.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

$x = \pm i \sqrt{3}$

Paso 15.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 15.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{3}$

Paso 15.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 15.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 16

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 4) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ verdadera.

$x = 2 i, - 2 i, 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 17

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$