Precálculo Ejemplos

$x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(- 1)}^{5} - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 1$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$- 1 - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Paso 4.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$- 1 - 4 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 1 - 4 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Paso 4.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 4 - 3 \cdot - 1 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Paso 4.1.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 24$

Paso 4.1.7

Multiplica $22$ por $1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 - 4 \cdot - 1 - 24$

Paso 4.1.8

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 + 4 - 24$

$- 1 - 4 + 3 + 22 + 4 - 24$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Resta $4$ de $- 1$ .

$- 5 + 3 + 22 + 4 - 24$

Paso 4.2.2

Suma $- 5$ y $3$ .

$- 2 + 22 + 4 - 24$

Paso 4.2.3

Suma $- 2$ y $22$ .

$20 + 4 - 24$

Paso 4.2.4

Suma $20$ y $4$ .

$24 - 24$

Paso 4.2.5

Resta $24$ de $24$ .

$0$

$0$

$0$

Paso 5

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24}{x + 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$	$- 5$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 5)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$	$2$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(22)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(20)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 20)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

Paso 6.11

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 24)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(24)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 24)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

Paso 6.12

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$	$0$

Paso 6.13

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{4} + - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

Paso 6.14

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

$x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Reagrupa los términos.

$- 5 x^{3} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza $- 5 x$ de $- 5 x^{3} + 20 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.2.1

Factoriza $- 5 x$ de $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x \cdot x^{2} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Paso 7.1.2.2

Factoriza $- 5 x$ de $20 x$ .

$- 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 4 + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Paso 7.1.2.3

Factoriza $- 5 x$ de $- 5 x (x^{2}) - 5 x (- 4)$ .

$- 5 x (x^{2} - 4) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

$- 5 x (x^{2} - 4) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Paso 7.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Paso 7.1.4

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 5 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Paso 7.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Paso 7.1.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Paso 7.1.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} + 2 u - 24 = 0$

Paso 7.1.7

Factoriza $u^{2} + 2 u - 24$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $2$ .

$- 4, 6$

Paso 7.1.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 6) = 0$

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 6) = 0$

Paso 7.1.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 6) = 0$

Paso 7.1.9

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 6) = 0$

Paso 7.1.10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

Paso 7.1.11

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.11.1

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $- 5 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

Paso 7.1.11.2

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x + x^{2} + 6) = 0$

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x + x^{2} + 6) = 0$

Paso 7.1.12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 u + u^{2} + 6) = 0$

Paso 7.1.13

Factoriza $- 5 u + u^{2} + 6$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 7.1.13.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 3) (u - 2)) = 0$

$(x + 2) (x - 2) ((u - 3) (u - 2)) = 0$

Paso 7.1.14

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x - 2)) = 0$

Paso 7.1.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x - 2) = 0$

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x - 2) = 0$

Paso 7.1.15

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.15.1

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

Paso 7.1.15.2

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

Paso 7.1.15.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Paso 7.1.15.4

Suma $1$ y $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 7.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 7.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

$x = - 2$

Paso 7.4

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve ${(x - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 7.4.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

$x = 2$

$x = 2$

Paso 7.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

$x = 3$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2, 3$

$x = - 2, 2, 3$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x + 1) (x + 2) (x - 2) (x - 3)$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$ .

$x = - 1, - 2, 2, 3$

Paso 10

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$