Precálculo Ejemplos

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 8$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 8$

Paso 4.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 (2) - 8$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$8 - 24 + 12 (2) - 8$

Paso 4.1.4

Multiplica $12$ por $2$ .

$8 - 24 + 24 - 8$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $24$ de $8$ .

$- 16 + 24 - 8$

Paso 4.2.2

Suma $- 16$ y $24$ .

$8 - 8$

Paso 4.2.3

Resta $8$ de $8$ .

$0$

Paso 5

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 6)$ .

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$
	$1$	$- 4$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(- 8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(12)$ .

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$4$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 8)$ .

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$	$8$
	$1$	$- 4$	$4$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$	$8$
	$1$	$- 4$	$4$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + - 4 x + 4$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Paso 7

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 2) + x^{2} - 4 x + 2^{2}$

Paso 7.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 7.3

Reescribe el polinomio.

$(x - 2) + x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}$

Paso 7.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 2) + {(x - 2)}^{2}$

$(x - 2) {(x - 2)}^{2}$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 8.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Paso 8.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 8.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Paso 8.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Paso 8.1.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Paso 8.1.3.4

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Paso 8.1.3.5

Resta $24$ de $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Paso 8.1.3.6

Multiplica $12$ por $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

Paso 8.1.3.7

Suma $- 16$ y $24$ .

$8 - 8$

Paso 8.1.3.8

Resta $8$ de $8$ .

$0$

Paso 8.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Paso 8.1.5

Divide $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ por $x - 2$ .

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Paso 8.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

Paso 8.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

Paso 8.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 8.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 8.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Paso 8.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Paso 8.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Paso 8.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Paso 8.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Paso 8.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

Paso 8.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Paso 8.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Paso 8.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Paso 8.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x - 8$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Paso 8.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

Paso 8.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Paso 8.1.6

Escribe $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ como un conjunto de factores.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 8.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 8.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Paso 8.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 8.2.3

Reescribe el polinomio.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 8.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 8.3

Combina factores semejantes.

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Paso 8.3.1

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 8.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x - 2)}^{1 + 2} = 0$

Paso 8.3.3

Suma $1$ y $2$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

Paso 9

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 10

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 11