Precálculo Ejemplos

$x^{3} - 125$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(5)}^{3} - 125$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$125 - 125$

Paso 4.2

Resta $125$ de $125$ .

$0$

Paso 5

Como $5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 5$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 125}{x - 5}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$
	$1$	$5$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(25)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$
	$1$	$5$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$
	$1$	$5$	$25$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(25)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(125)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 125)$ .

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$	$125$
	$1$	$5$	$25$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$	$125$
	$1$	$5$	$25$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + 5 x + 25$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} + 5 x + 25$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 5$ y $c = 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.3

Resta $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.7

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.3.1.7.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 7.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.3

Resta $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.4

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.7

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.4.1.7.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.4.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.4.5

Factoriza $- 1$ de $5 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 5 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 7.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (- 5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - 5 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 7.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 7.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.3

Resta $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.4

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.7

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.5.1.7.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.5.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.5.5

Factoriza $- 1$ de $- 5 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (5 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 7.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + 5 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 7.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x - 5) (x + \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}) (x + \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $x^{3} - 125$ .

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 10