Precálculo Ejemplos

$9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$9 {(- 1)}^{4} + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$9 \cdot 1 + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Paso 4.1.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Paso 4.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$9 + 10 \cdot - 1 + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Paso 4.1.4

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$9 - 10 + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Paso 4.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$9 - 10 + 19 \cdot 1 + 20 (- 1) + 2$

Paso 4.1.6

Multiplica $19$ por $1$ .

$9 - 10 + 19 + 20 (- 1) + 2$

Paso 4.1.7

Multiplica $20$ por $- 1$ .

$9 - 10 + 19 - 20 + 2$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $10$ de $9$ .

$- 1 + 19 - 20 + 2$

Paso 4.2.2

Suma $- 1$ y $19$ .

$18 - 20 + 2$

Paso 4.2.3

Resta $20$ de $18$ .

$- 2 + 2$

Paso 4.2.4

Suma $- 2$ y $2$ .

$0$

Paso 5

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2}{x + 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(9)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$

	$9$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(9)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(10)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$
	$9$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$
	$9$	$1$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(19)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$
	$9$	$1$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$
	$9$	$1$	$18$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(18)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 18)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(20)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$
	$9$	$1$	$18$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$
	$9$	$1$	$18$	$2$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(2)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$	$- 2$
	$9$	$1$	$18$	$2$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$	$- 2$
	$9$	$1$	$18$	$2$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$9 x^{3} + 1 x^{2} + (18) x + 2$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$9 x^{3} + x^{2} + 18 x + 2$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 1) (9 x^{3} + x^{2}) + 18 x + 2$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 1) + x^{2} (9 x + 1) + 2 (9 x + 1)$

$(x + 1) x^{2} (9 x + 1) + 2 (9 x + 1)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 x + 1$ .

$(x + 1) (9 x + 1) (x^{2} + 2)$

Paso 9

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1

Reagrupa los términos.

$10 x^{3} + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Paso 9.2

Factoriza $10 x$ de $10 x^{3} + 20 x$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $10 x$ de $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Paso 9.2.2

Factoriza $10 x$ de $20 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Paso 9.2.3

Factoriza $10 x$ de $10 x (x^{2}) + 10 x (2)$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Paso 9.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 {(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Paso 9.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 u + 2 = 0$

Paso 9.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 9.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 2 = 18$ y cuya suma es $b = 19$ .

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Paso 9.5.1.1

Factoriza $19$ de $19 u$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 (u) + 2 = 0$

Paso 9.5.1.2

Reescribe $19$ como $1$ más $18$

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + (1 + 18) u + 2 = 0$

Paso 9.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 1 u + 18 u + 2 = 0$

Paso 9.5.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2 = 0$

Paso 9.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 9.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2 = 0$

Paso 9.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$10 x (x^{2} + 2) + u (9 u + 1) + 2 (9 u + 1) = 0$

Paso 9.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 u + 1$ .

$10 x (x^{2} + 2) + (9 u + 1) (u + 2) = 0$

Paso 9.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 9.7

Factoriza $x^{2} + 2$ de $10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

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Paso 9.7.1

Factoriza $x^{2} + 2$ de $10 x (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 9.7.2

Factoriza $x^{2} + 2$ de $(9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1) = 0$

Paso 9.7.3

Factoriza $x^{2} + 2$ de $(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x + 9 x^{2} + 1) = 0$

Paso 9.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} + 2) (10 u + 9 u^{2} + 1) = 0$

Paso 9.9

Factoriza por agrupación.

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Paso 9.9.1

Reordena los términos.

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 u + 1) = 0$

Paso 9.9.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ y cuya suma es $b = 10$ .

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Paso 9.9.2.1

Factoriza $10$ de $10 u$ .

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 (u) + 1) = 0$

Paso 9.9.2.2

Reescribe $10$ como $1$ más $9$

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + (1 + 9) u + 1) = 0$

Paso 9.9.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 1 u + 9 u + 1) = 0$

Paso 9.9.2.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + u + 9 u + 1) = 0$

Paso 9.9.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 9.9.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{2} + 2) ((9 u^{2} + u) + 9 u + 1) = 0$

Paso 9.9.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x^{2} + 2) (u (9 u + 1) + 1 (9 u + 1)) = 0$

Paso 9.9.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 u + 1$ .

$(x^{2} + 2) ((9 u + 1) (u + 1)) = 0$

Paso 9.10

Factoriza.

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Paso 9.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 2) ((9 x + 1) (x + 1)) = 0$

Paso 9.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$9 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 11

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 2$

Paso 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Paso 11.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Paso 11.2.3.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Paso 11.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Paso 11.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Paso 11.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{2}$

Paso 11.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{2}$

Paso 11.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Paso 12

Establece $9 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $9 x + 1$ igual a $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $9 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x = - 1$

Paso 12.2.2

Divide cada término en $9 x = - 1$ por $9$ y simplifica.

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Paso 12.2.2.1

Divide cada término en $9 x = - 1$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Paso 12.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 12.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Paso 12.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Paso 12.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{9}$

Paso 13

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 13.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - \frac{1}{9}, - 1$

Paso 15