Precálculo Ejemplos

$5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 5$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 5, \pm 10$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$5 {(2)}^{5} - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$5 \cdot 32 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Paso 4.1.2

Multiplica $5$ por $32$ .

$160 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$160 - 36 \cdot 16 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 36$ por $16$ .

$160 - 576 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Paso 4.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$160 - 576 + 62 \cdot 8 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Paso 4.1.6

Multiplica $62$ por $8$ .

$160 - 576 + 496 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Paso 4.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$160 - 576 + 496 - 46 \cdot 4 + 57 (2) - 10$

Paso 4.1.8

Multiplica $- 46$ por $4$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 57 (2) - 10$

Paso 4.1.9

Multiplica $57$ por $2$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 114 - 10$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $576$ de $160$ .

$- 416 + 496 - 184 + 114 - 10$

Paso 4.2.2

Suma $- 416$ y $496$ .

$80 - 184 + 114 - 10$

Paso 4.2.3

Resta $184$ de $80$ .

$- 104 + 114 - 10$

Paso 4.2.4

Suma $- 104$ y $114$ .

$10 - 10$

Paso 4.2.5

Resta $10$ de $10$ .

$0$

Paso 5

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10}{x - 2}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

	$5$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(10)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 36)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$

Paso 6.4