Precálculo Ejemplos

$20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{1}{20}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$20 {(\frac{1}{2})}^{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = \frac{1}{2}$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$20 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$20 \frac{1}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$20 (\frac{1}{16}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$4 (5) \frac{1}{16} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.4.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.4.3

Cancela el factor común.

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.4.4

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{1}{4}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.5

Combina $5$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.6

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{5}{4} + 52 (\frac{1}{8}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.9

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.9.1

Factoriza $4$ de $52$ .

$\frac{5}{4} + 4 (13) \frac{1}{8} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.9.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.9.3

Cancela el factor común.

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.9.4

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{4} + 13 (\frac{1}{2}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.10

Combina $13$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.11

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.13

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 (\frac{1}{4}) + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.14

Combina $- 45$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} + \frac{- 45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 4.1.16

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + \frac{5}{2} + 1$

Paso 4.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{5 - 45}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Resta $45$ de $5$ .

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

Paso 4.2.2.2

Suma $13$ y $5$ .

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Paso 4.3

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Paso 4.3.3

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Paso 4.3.4

Multiplica $\frac{18}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{18}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 4.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{4}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 40 + 18 \cdot 2}{4}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Multiplica $18$ por $2$ .

$\frac{4 - 40 + 36}{4}$

Paso 4.5.2

Resta $40$ de $4$ .

$\frac{- 36 + 36}{4}$

Paso 4.5.3

Suma $- 36$ y $36$ .

$\frac{0}{4}$

Paso 4.5.4

Divide $0$ por $4$ .

$0$

Paso 5

Como $\frac{1}{2}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - \frac{1}{2}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{x - \frac{1}{2}}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(20)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

	$20$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(20)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(10)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(52)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$	$62$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(62)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(31)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 45)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$	$- 14$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 14)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(- 7)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(5)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 2)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(1)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$20 x^{3} + 62 x^{2} + (- 14) x - 2$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$

Paso 7

Factoriza $2$ de $20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Factoriza $2$ de $20 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 62 x^{2} - 14 x - 2)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $62 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) - 14 x - 2)$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $- 14 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) - 2)$

Paso 7.4

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

Paso 7.5

Factoriza $2$ de $2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

Paso 7.6

Factoriza $2$ de $2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1))$

Paso 7.7

Factoriza $2$ de $2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x - 1))$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Factoriza $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Paso 8.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.05, \pm 0.5, \pm 0.1, \pm 0.25, \pm 0.2$

Paso 8.1.3

Sustituye $- 0.1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.1$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.3.1

Sustituye $- 0.1$ en el polinomio.

$20 {(- 0.1)}^{4} + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Paso 8.1.3.2

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $4$ .

$20 \cdot 0.0001 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Paso 8.1.3.3

Multiplica $20$ por $0.0001$ .

$0.002 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Paso 8.1.3.4

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $3$ .

$0.002 + 52 \cdot - 0.001 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Paso 8.1.3.5

Multiplica $52$ por $- 0.001$ .

$0.002 - 0.052 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Paso 8.1.3.6

Resta $0.052$ de $0.002$ .

$- 0.05 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Paso 8.1.3.7

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $2$ .

$- 0.05 - 45 \cdot 0.01 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Paso 8.1.3.8

Multiplica $- 45$ por $0.01$ .

$- 0.05 - 0.45 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Paso 8.1.3.9

Resta $0.45$ de $- 0.05$ .

$- 0.5 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Paso 8.1.3.10

Multiplica $5$ por $- 0.1$ .

$- 0.5 - 0.5 + 1$

Paso 8.1.3.11

Resta $0.5$ de $- 0.5$ .

$- 1 + 1$

Paso 8.1.3.12

Suma $- 1$ y $1$ .

$0$

Paso 8.1.4

Como $- 0.1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $10 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{10 x + 1}$

Paso 8.1.5

Divide $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ por $10 x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

Paso 8.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $20 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $10 x$ .

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

Paso 8.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

Paso 8.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $20 x^{4} + 2 x^{3}$ .

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

Paso 8.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

Paso 8.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

Paso 8.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $50 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

Paso 8.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

Paso 8.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $50 x^{3} + 5 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

Paso 8.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

Paso 8.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

Paso 8.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 50 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

Paso 8.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

Paso 8.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 50 x^{2} - 5 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

Paso 8.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

Paso 8.1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

Paso 8.1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $10 x$ por el término de mayor orden en el divisor $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

Paso 8.1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

Paso 8.1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $10 x + 1$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

Paso 8.1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

$0$

Paso 8.1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$

Paso 8.1.6

Escribe $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ como un conjunto de factores.

$(10 x + 1) (2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Paso 8.2

Factoriza $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Factoriza $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 8.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5$

Paso 8.2.1.3

Sustituye $0.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.5$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.3.1

Sustituye $0.5$ en el polinomio.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Paso 8.2.1.3.2

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Paso 8.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $0.125$ .

$0.25 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Paso 8.2.1.3.4

Eleva $0.5$ a la potencia de $2$ .

$0.25 + 5 \cdot 0.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Paso 8.2.1.3.5

Multiplica $5$ por $0.25$ .

$0.25 + 1.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Paso 8.2.1.3.6

Suma $0.25$ y $1.25$ .

$1.5 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Paso 8.2.1.3.7

Multiplica $- 5$ por $0.5$ .

$1.5 - 2.5 + 1$

Paso 8.2.1.3.8

Resta $2.5$ de $1.5$ .

$- 1 + 1$

Paso 8.2.1.3.9

Suma $- 1$ y $1$ .

$0$

Paso 8.2.1.4

Como $0.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1}{2 x - 1}$

Paso 8.2.1.5

Divide $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ por $2 x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

Paso 8.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$

Paso 8.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 8.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 8.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Paso 8.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 8.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 8.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 8.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 8.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

Paso 8.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

Paso 8.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

Paso 8.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	+	$1$

Paso 8.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x + 1$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$

Paso 8.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$
										$0$

Paso 8.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 3 x - 1$

Paso 8.2.1.6

Escribe $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ como un conjunto de factores.

$(10 x + 1) ((2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

Paso 8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$10 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Paso 10

Establece $10 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Establece $10 x + 1$ igual a $0$ .

$10 x + 1 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $10 x + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$10 x = - 1$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $10 x = - 1$ por $10$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $10 x = - 1$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{10}$

Paso 10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{10}$

Paso 11

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 11.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 11.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 12

Establece $x^{2} + 3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Establece $x^{2} + 3 x - 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 12.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 3$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.3.1.3

Suma $9$ y $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Paso 12.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.4.1.3

Suma $9$ y $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Paso 12.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}$

Paso 12.2.4.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{13}}{2}$

Paso 12.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{13}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{13})}{2}$

Paso 12.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{13})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{13})}{2}$

Paso 12.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Paso 12.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.5.1.3

Suma $9$ y $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Paso 12.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2}$

Paso 12.2.5.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{13}}{2}$

Paso 12.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{13}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{13})}{2}$

Paso 12.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (\sqrt{13})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{13})}{2}$

Paso 12.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Paso 12.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Forma decimal:

$x = - 0.1, 0.5, 0.30277563 \dots, - 3.30277563 \dots$

Paso 15