Precálculo Ejemplos

$t^{3} - 64$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(4)}^{3} - 64$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $t = 4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$64 - 64$

Paso 4.2

Resta $64$ de $64$ .

$0$

Paso 5

Como $4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $t - 4$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{t^{3} - 64}{t - 4}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$4$	$1$	$0$	$0$	$- 64$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$4$	$1$	$0$	$0$	$- 64$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$4$	$1$	$0$	$0$	$- 64$
		$4$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$1$	$0$	$0$	$- 64$
		$4$
	$1$	$4$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(16)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$4$	$1$	$0$	$0$	$- 64$
		$4$	$16$
	$1$	$4$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$1$	$0$	$0$	$- 64$
		$4$	$16$
	$1$	$4$	$16$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(16)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(64)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 64)$ .

$4$	$1$	$0$	$0$	$- 64$
		$4$	$16$	$64$
	$1$	$4$	$16$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$1$	$0$	$0$	$- 64$
		$4$	$16$	$64$
	$1$	$4$	$16$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 t^{2} + 4 t + 16$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$t^{2} + 4 t + 16$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $t$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$t = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$t = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 7.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.4.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$t = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$t = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 7.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$t = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Paso 7.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 7.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.5.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$t = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$t = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 7.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$t = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 7.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$t = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(t - 4) (t + 2 - 2 i \sqrt{3}) (t + 2 + 2 i \sqrt{3})$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $t^{3} - 64$ .

$t = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 10

Suma $64$ a ambos lados de la ecuación.

$t^{3} = 64$

Paso 11

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$t^{3} - 64 = 0$

Paso 12

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 12.1

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$t^{3} - 4^{3} = 0$

Paso 12.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = t$ y $b = 4$ .

$(t - 4) (t^{2} + t \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 12.3

Simplifica.

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Paso 12.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $t$ .

$(t - 4) (t^{2} + 4 t + 4^{2}) = 0$

Paso 12.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(t - 4) (t^{2} + 4 t + 16) = 0$

Paso 13

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t - 4 = 0$

$t^{2} + 4 t + 16 = 0$

Paso 14

Establece $t - 4$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 14.1

Establece $t - 4$ igual a $0$ .

$t - 4 = 0$

Paso 14.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 4$

Paso 15

Establece $t^{2} + 4 t + 16$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 15.1

Establece $t^{2} + 4 t + 16$ igual a $0$ .

$t^{2} + 4 t + 16 = 0$

Paso 15.2

Resuelve $t^{2} + 4 t + 16 = 0$ en $t$ .

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Paso 15.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 15.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $t$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.3

Simplifica.

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Paso 15.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 15.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.3.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.3.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.3.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 15.2.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$t = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 15.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$t = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 15.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 15.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 15.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.4.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.4.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.4.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 15.2.4.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$t = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 15.2.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$t = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 15.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$t = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Paso 15.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 15.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 15.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.5.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.5.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.5.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 15.2.5.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$t = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 15.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 15.2.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$t = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 15.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$t = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 15.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$t = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 16

La solución final comprende todos los valores que hacen $(t - 4) (t^{2} + 4 t + 16) = 0$ verdadera.

$t = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 17