Precálculo Ejemplos

$t^{4} - 12 t^{2} + 27$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(3)}^{4} - 12 {(3)}^{2} + 27$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $t = 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$81 - 12 {(3)}^{2} + 27$

Paso 4.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$81 - 12 \cdot 9 + 27$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 12$ por $9$ .

$81 - 108 + 27$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $108$ de $81$ .

$- 27 + 27$

Paso 4.2.2

Suma $- 27$ y $27$ .

$0$

Paso 5

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $t - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{t^{4} - 12 t^{2} + 27}{t - 3}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$	$3$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$- 3$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 3)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(- 9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 9)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(- 27)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(27)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 t^{3} + 3 t^{2} + (- 3) t - 9$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$t^{3} + 3 t^{2} - 3 t - 9$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(t - 3) (t^{3} + 3 t^{2}) - 3 t - 9$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(t - 3) + t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

$(t - 3) t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $t + 3$ .

$(t - 3) (t + 3) (t^{2} - 3)$

Paso 9

Sustituye $u = t^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - 12 u + 27 = 0$

$u = t^{2}$

Paso 10

Factoriza $u^{2} - 12 u + 27$ con el método AC.

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Paso 10.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $27$ y cuya suma es $- 12$ .

$- 9, - 3$

Paso 10.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 9) (u - 3) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 3 = 0$

Paso 12

Establece $u - 9$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 12.1

Establece $u - 9$ igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

Paso 12.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 9$

Paso 13

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 13.1

Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Paso 13.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 9) (u - 3) = 0$ verdadera.

$u = 9, 3$

Paso 15

Sustituye el valor real de $u = t^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$t^{2} = 9$

${(t^{2})}^{1} = 3$

Paso 16

Resuelve la primera ecuación para $t$ .

$t^{2} = 9$

Paso 17

Resuelve la ecuación en $t$ .

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Paso 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{9}$

Paso 17.2

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 17.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 17.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$t = \pm 3$

Paso 17.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 17.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = 3$

Paso 17.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - 3$

Paso 17.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = 3, - 3$

Paso 18

Resuelve la segunda ecuación para $t$ .

${(t^{2})}^{1} = 3$

Paso 19

Resuelve la ecuación en $t$ .

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Paso 19.1

Elimina los paréntesis.

$t^{2} = 3$

Paso 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{3}$

Paso 19.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 19.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = \sqrt{3}$

Paso 19.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - \sqrt{3}$

Paso 19.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 20

La solución a $t^{4} - 12 t^{2} + 27 = 0$ es $t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 21

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$t = 3, - 3, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

Paso 22