Precálculo Ejemplos

$x^{3} + 14 x^{2} + 48 x - 7$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 7$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} + 48 (- 7) - 7$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 7$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $3$ .

$- 343 + 14 {(- 7)}^{2} + 48 (- 7) - 7$

Paso 4.1.2

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$- 343 + 14 \cdot 49 + 48 (- 7) - 7$

Paso 4.1.3

Multiplica $14$ por $49$ .

$- 343 + 686 + 48 (- 7) - 7$

Paso 4.1.4

Multiplica $48$ por $- 7$ .

$- 343 + 686 - 336 - 7$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $- 343$ y $686$ .

$343 - 336 - 7$

Paso 4.2.2

Resta $336$ de $343$ .

$7 - 7$

Paso 4.2.3

Resta $7$ de $7$ .

$0$

Paso 5

Como $- 7$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 7$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 14 x^{2} + 48 x - 7}{x + 7}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(- 7)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(14)$ .

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$
	$1$	$7$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(7)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(- 49)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(48)$ .

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$
	$1$	$7$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$
	$1$	$7$	$- 1$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 1)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(7)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 7)$ .

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$	$7$
	$1$	$7$	$- 1$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$	$7$
	$1$	$7$	$- 1$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + 7 x - 1$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} + 7 x - 1$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 7$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.3

Suma $49$ y $4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 7.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.3

Suma $49$ y $4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2}$

Paso 7.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{53}}{2}$

Paso 7.4.4

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{53}}{2}$

Paso 7.4.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{53}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{53})}{2}$

Paso 7.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{53})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{53})}{2}$

Paso 7.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}$

Paso 7.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 7.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.3

Suma $49$ y $4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2}$

Paso 7.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{53}}{2}$

Paso 7.5.4

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{53}}{2}$

Paso 7.5.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{53}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{53})}{2}$

Paso 7.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (7) - (\sqrt{53})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{53})}{2}$

Paso 7.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

Paso 7.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x + 7) (x + \frac{7 - \sqrt{53}}{2}) (x + \frac{7 + \sqrt{53}}{2})$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $x^{3} + 14 x^{2} + 48 x - 7$ .

$x = - 7, - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 7, - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

Forma decimal:

$x = - 7, 0.14005494 \dots, - 7.14005494 \dots$

Paso 11