Precálculo Ejemplos

$4 x^{8} - 13 x^{4} + 9$

Paso 1

Reescribe $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

$4 {(x^{4})}^{2} - 13 x^{4} + 9$

Paso 2

Sea $u = x^{4}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{4}$ .

$4 u^{2} - 13 u + 9$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ y cuya suma es $b = - 13$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 13$ de $- 13 u$ .

$4 u^{2} - 13 (u) + 9$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 13$ como $- 4$ más $- 9$

$4 u^{2} + (- 4 - 9) u + 9$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 u^{2} - 4 u - 9 u + 9$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 u^{2} - 4 u) - 9 u + 9$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$4 u (u - 1) - 9 (u - 1)$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $u - 1$ .

$(u - 1) (4 u - 9)$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$(x^{4} - 1) (4 x^{4} - 9)$

Paso 5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1) (4 x^{4} - 9)$

Paso 6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (4 x^{4} - 9)$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (4 x^{4} - 9)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (4 x^{4} - 9)$

Paso 8.2

Factoriza.

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Paso 8.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (4 x^{4} - 9)$

Paso 8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (4 x^{4} - 9)$

Paso 9

Reescribe $4 x^{4}$ como ${(2 x^{2})}^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(2 x^{2})}^{2} - 9)$

Paso 10

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(2 x^{2})}^{2} - 3^{2})$

Paso 11

Factoriza.

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Paso 11.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x^{2}$ y $b = 3$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ((2 x^{2} + 3) (2 x^{2} - 3))$

Paso 11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3) (2 x^{2} - 3)$