Precálculo Ejemplos

$4 a^{2} c^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

Paso 1

Reescribe $4 a^{2} c^{2}$ como ${(2 a c)}^{2}$ .

${(2 a c)}^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

Paso 2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 a c$ y $b = a^{2} - b^{2} + c^{2}$ .

$(2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe $2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}$ en forma factorizada.

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Paso 3.1.1

Reagrupa los términos.

$(- b^{2} + 2 a c + a^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Paso 3.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1.2.1

Reorganiza los términos.

$(- b^{2} + a^{2} + 2 a c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Paso 3.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

Paso 3.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$(- b^{2} + a^{2} + 2 \cdot a \cdot c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Paso 3.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = c$ .

$(- b^{2} + {(a + c)}^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Paso 3.1.3

Reordena $- b^{2}$ y ${(a + c)}^{2}$ .

$({(a + c)}^{2} - b^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Paso 3.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a + c$ y $b = b$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} - - b^{2} - c^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $- - b^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + 1 b^{2} - c^{2})$

Paso 3.3.2

Multiplica $b^{2}$ por $1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2})$

Paso 3.4

Factoriza.

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Paso 3.4.1

Reescribe $2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2}$ en forma factorizada.

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Paso 3.4.1.1

Reagrupa los términos.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 a c - a^{2} - c^{2})$

Paso 3.4.1.2

Agrega paréntesis.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 (a c) - a^{2} - c^{2})$

Paso 3.4.1.3

Sea $u = a c$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $a c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 u - a^{2} - c^{2})$

Paso 3.4.1.4

Factoriza $- 1$ de $2 u - a^{2} - c^{2}$ .

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Paso 3.4.1.4.1

Mueve $2 u$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - a^{2} - c^{2} + 2 u)$

Paso 3.4.1.4.2

Factoriza $- 1$ de $- a^{2}$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - c^{2} + 2 u)$

Paso 3.4.1.4.3

Factoriza $- 1$ de $- c^{2}$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) + 2 u)$

Paso 3.4.1.4.4

Factoriza $- 1$ de $2 u$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) - (- 2 u))$

Paso 3.4.1.4.5

Factoriza $- 1$ de $- (a^{2}) - (c^{2})$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u))$

Paso 3.4.1.4.6

Factoriza $- 1$ de $- (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u)$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 u))$

Paso 3.4.1.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $a c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 (a c)))$

Paso 3.4.1.6

Elimina los paréntesis.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 a c))$

Paso 3.4.1.7

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.4.1.7.1

Reorganiza los términos.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 a c + c^{2}))$

Paso 3.4.1.7.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

Paso 3.4.1.7.3

Reescribe el polinomio.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 \cdot a \cdot c + c^{2}))$

Paso 3.4.1.7.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - {(a - c)}^{2})$

Paso 3.4.1.8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = b$ y $b = a - c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - (a - c)))$

Paso 3.4.1.9

Simplifica.

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Paso 3.4.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a - - c))$

Paso 3.4.1.9.2

Multiplica $- - c$ .

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Paso 3.4.1.9.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + 1 c))$

Paso 3.4.1.9.2.2

Multiplica $c$ por $1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + c))$

Paso 3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(a + c + b) (a + c - b) (b + a - c) (b - a + c)$