Precálculo Ejemplos

$3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Paso 3

Sustituye $- 0.\overline{6}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.\overline{6}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.1

Sustituye $- 0.\overline{6}$ en el polinomio.

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Paso 3.2

Eleva $- 0.\overline{6}$ a la potencia de $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $- 0.\overline{296}$ .

$- 0.\overline{8} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Paso 3.4

Eleva $- 0.\overline{6}$ a la potencia de $2$ .

$- 0.\overline{8} - 4 \cdot 0.\overline{4} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Paso 3.5

Multiplica $- 4$ por $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{8} - 1.\overline{7} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Paso 3.6

Resta $1.\overline{7}$ de $- 0.\overline{8}$ .

$- 2.\overline{6} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Paso 3.7

Multiplica $8$ por $- 0.\overline{6}$ .

$- 2.\overline{6} - 5.\overline{3} + 8$

Paso 3.8

Resta $5.\overline{3}$ de $- 2.\overline{6}$ .

$- 8 + 8$

Paso 3.9

Suma $- 8$ y $8$ .

$0$

Paso 4

Como $- 0.\overline{6}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $3 x + 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8}{3 x + 2}$

Paso 5

Divide $3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$ por $3 x + 2$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$8$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			+	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{2} - 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$

Paso 5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$

Paso 5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $12 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$

Paso 5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							+	$12 x$	+	$8$

Paso 5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $12 x + 8$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							-	$12 x$	-	$8$

Paso 5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							-	$12 x$	-	$8$
										$0$

Paso 5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 2 x + 4$

Paso 6

Escribe $3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$ como un conjunto de factores.

$(3 x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$