Precálculo Ejemplos

$3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12$

Paso 1

Factoriza $3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}$

Paso 1.3

Sustituye $- 0.\overline{3}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.\overline{3}$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Sustituye $- 0.\overline{3}$ en el polinomio.

$3 {(- 0.\overline{3})}^{4} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Paso 1.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $4$ .

$3 \cdot 0.01234567 + 4 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $0.01234567$ .

$0.\overline{037} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Paso 1.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $3$ .

$0.\overline{037} + 4 \cdot - 0.\overline{037} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Paso 1.3.5

Multiplica $4$ por $- 0.\overline{037}$ .

$0.\overline{037} - 0.\overline{148} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Paso 1.3.6

Resta $0.\overline{148}$ de $0.\overline{037}$ .

$- 0.11111111 - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Paso 1.3.7

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$- 0.11111111 - 23 \cdot 0.\overline{1} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Paso 1.3.8

Multiplica $- 23$ por $0.\overline{1}$ .

$- 0.11111111 - 2.\overline{5} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Paso 1.3.9

Resta $2.\overline{5}$ de $- 0.11111111$ .

$- 2.66666666 - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Paso 1.3.10

Multiplica $- 44$ por $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.66666666 + 14.\overline{6} - 12$

Paso 1.3.11

Suma $- 2.66666666$ y $14.\overline{6}$ .

$12 - 12$

Paso 1.3.12

Resta $12$ de $12$ .

$0$

Paso 1.4

Como $- 0.\overline{3}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $3 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12}{3 x + 1}$

Paso 1.5

Divide $3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12$ por $3 x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{4} + x^{3}$ .

				$x^{3}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{3} + x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 24 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							-	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 24 x^{2} - 8 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

$24 x^{2}$

$8 x$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

$24 x^{2}$

$8 x$

$36 x$

Paso 1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

$24 x^{2}$

$8 x$

$36 x$

$12$

Paso 1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 36 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$36 x$	-	$12$

Paso 1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$36 x$	-	$12$
									-	$36 x$	-	$12$

Paso 1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 36 x - 12$ .

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$36 x$	-	$12$
									+	$36 x$	+	$12$

Paso 1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$36 x$	-	$12$
									+	$36 x$	+	$12$
												$0$

Paso 1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$

Paso 1.6

Escribe $3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12$ como un conjunto de factores.

$(3 x + 1) (x^{3} + x^{2} - 8 x - 12)$

Paso 2

Factoriza $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Paso 2.3

Sustituye $- 2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 2$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Sustituye $- 2$ en el polinomio.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Paso 2.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Paso 2.3.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Paso 2.3.4

Suma $- 8$ y $4$ .

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Paso 2.3.6

Suma $- 4$ y $16$ .

$12 - 12$

Paso 2.3.7

Resta $12$ de $12$ .

$0$

Paso 2.4

Como $- 2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

Paso 2.5

Divide $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ por $x + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

Paso 2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

Paso 2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Paso 2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Paso 2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Paso 2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Paso 2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Paso 2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

Paso 2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Paso 2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Paso 2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Paso 2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x - 12$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Paso 2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

Paso 2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - x - 6$

Paso 2.6

Escribe $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ como un conjunto de factores.

$(3 x + 1) ((x + 2) (x^{2} - x - 6))$

Paso 3

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 3.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(3 x + 1) ((x + 2) ((x - 3) (x + 2)))$

Paso 3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x + 1) ((x + 2) (x - 3) (x + 2))$

Paso 4

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$(3 x + 1) ({(x + 2)}^{1} (x + 2) (x - 3))$

Paso 4.1.2

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$(3 x + 1) ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (x - 3))$

Paso 4.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(3 x + 1) ({(x + 2)}^{1 + 1} (x - 3))$

Paso 4.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$(3 x + 1) ({(x + 2)}^{2} (x - 3))$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x + 1) {(x + 2)}^{2} (x - 3)$