Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16$

Paso 1

Establece $x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16$ igual a $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 8 x^{3} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x^{3} - 8 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot 1 + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x (x^{2}) - 8 x (1)$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Paso 2.1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 17 u + 16 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $u^{2} + 17 u + 16$ con el método AC.

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Paso 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $16$ y cuya suma es $17$ .

$1, 16$

Paso 2.1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 16) = 0$

Paso 2.1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 8 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} + 16) = 0$

Paso 2.1.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 u + u^{2} + 16) = 0$

Paso 2.1.9

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1.9.1

Reorganiza los términos.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

Paso 2.1.9.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

Paso 2.1.9.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Paso 2.1.9.4

Reescribe el polinomio.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 2.1.9.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 4$ .

$(x^{2} + 1) {(u - 4)}^{2} = 0$

Paso 2.1.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 2.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 2.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 2.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 2.4

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve ${(x - 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.4.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = i, - i, 4$

Paso 3