Precálculo Ejemplos

$f (x) = 9 x^{4} + 28 x^{3} + 48 x^{2} + 140 x + 15$

Paso 1

Establece $9 x^{4} + 28 x^{3} + 48 x^{2} + 140 x + 15$ igual a $0$ .

$9 x^{4} + 28 x^{3} + 48 x^{2} + 140 x + 15 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$28 x^{3} + 140 x + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $28 x$ de $28 x^{3} + 140 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $28 x$ de $28 x^{3}$ .

$28 x (x^{2}) + 140 x + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $28 x$ de $140 x$ .

$28 x (x^{2}) + 28 x (5) + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $28 x$ de $28 x (x^{2}) + 28 x (5)$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $3$ de $9 x^{4} + 48 x^{2} + 15$ .

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $3$ de $9 x^{4}$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4}) + 48 x^{2} + 15 = 0$

Paso 2.1.3.2

Factoriza $3$ de $48 x^{2}$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4}) + 3 (16 x^{2}) + 15 = 0$

Paso 2.1.3.3

Factoriza $3$ de $15$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4}) + 3 (16 x^{2}) + 3 (5) = 0$

Paso 2.1.3.4

Factoriza $3$ de $3 (3 x^{4}) + 3 (16 x^{2})$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4} + 16 x^{2}) + 3 (5) = 0$

Paso 2.1.3.5

Factoriza $3$ de $3 (3 x^{4} + 16 x^{2}) + 3 (5)$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4} + 16 x^{2} + 5) = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 {(x^{2})}^{2} + 16 x^{2} + 5) = 0$

Paso 2.1.5

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + 16 u + 5) = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ y cuya suma es $b = 16$ .

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Paso 2.1.6.1.1

Factoriza $16$ de $16 u$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + 16 (u) + 5) = 0$

Paso 2.1.6.1.2

Reescribe $16$ como $1$ más $15$

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + (1 + 15) u + 5) = 0$

Paso 2.1.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + 1 u + 15 u + 5) = 0$

Paso 2.1.6.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + u + 15 u + 5) = 0$

Paso 2.1.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 ((3 u^{2} + u) + 15 u + 5) = 0$

Paso 2.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (u (3 u + 1) + 5 (3 u + 1)) = 0$

Paso 2.1.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u + 1$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 ((3 u + 1) (u + 5)) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza.

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Paso 2.1.7.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)) = 0$

Paso 2.1.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5) = 0$

Paso 2.1.8

Factoriza $x^{2} + 5$ de $28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)$ .

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Paso 2.1.8.1

Factoriza $x^{2} + 5$ de $28 x (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (28 x) + 3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5) = 0$

Paso 2.1.8.2

Factoriza $x^{2} + 5$ de $3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (28 x) + (x^{2} + 5) (3 (3 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 2.1.8.3

Factoriza $x^{2} + 5$ de $(x^{2} + 5) (28 x) + (x^{2} + 5) (3 (3 x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} + 5) (28 x + 3 (3 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 2.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 5) (28 x + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot 1) = 0$

Paso 2.1.10

Multiplica $3$ por $3$ .

$(x^{2} + 5) (28 x + 9 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

Paso 2.1.11

Multiplica $3$ por $1$ .

$(x^{2} + 5) (28 x + 9 x^{2} + 3) = 0$

Paso 2.1.12

Reordena los términos.

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + 28 x + 3) = 0$

Paso 2.1.13

Factoriza.

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Paso 2.1.13.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.13.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ y cuya suma es $b = 28$ .

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Paso 2.1.13.1.1.1

Factoriza $28$ de $28 x$ .

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + 28 (x) + 3) = 0$

Paso 2.1.13.1.1.2

Reescribe $28$ como $1$ más $27$

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + (1 + 27) x + 3) = 0$

Paso 2.1.13.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + 1 x + 27 x + 3) = 0$

Paso 2.1.13.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + x + 27 x + 3) = 0$

Paso 2.1.13.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.13.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{2} + 5) ((9 x^{2} + x) + 27 x + 3) = 0$

Paso 2.1.13.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x^{2} + 5) (x (9 x + 1) + 3 (9 x + 1)) = 0$

Paso 2.1.13.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) ((9 x + 1) (x + 3)) = 0$

Paso 2.1.13.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 5) (9 x + 1) (x + 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

$9 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} + 5$ igual a $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 5$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Paso 2.3.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (5)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Paso 2.3.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Paso 2.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{5}$

Paso 2.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{5}$

Paso 2.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Paso 2.4

Establece $9 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $9 x + 1$ igual a $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $9 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x = - 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $9 x = - 1$ por $9$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $9 x = - 1$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{9}$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 5) (9 x + 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, - \frac{1}{9}, - 3$

Paso 3