Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63$

Paso 1

Establece $x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63$ igual a $0$ .

$x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$6 x^{3} - 54 x + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3} - 54 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) - 54 x + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $6 x$ de $- 54 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 9) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $6 x$ de $6 x (x^{2}) + 6 x (- 9)$ .

$6 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$6 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza.

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Paso 2.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$6 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Paso 2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Paso 2.1.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Paso 2.1.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 16 u + 63 = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $u^{2} - 16 u + 63$ con el método AC.

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Paso 2.1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $63$ y cuya suma es $- 16$ .

$- 9, - 7$

Paso 2.1.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$6 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 7) = 0$

Paso 2.1.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 7) = 0$

Paso 2.1.9

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 7) = 0$

Paso 2.1.10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7) = 0$

Paso 2.1.11

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7)$ .

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Paso 2.1.11.1

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $6 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7) = 0$

Paso 2.1.11.2

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7)$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 x + x^{2} - 7) = 0$

Paso 2.1.12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 u + u^{2} - 7) = 0$

Paso 2.1.13

Factoriza $6 u + u^{2} - 7$ con el método AC.

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Paso 2.1.13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $6$ .

$- 1, 7$

Paso 2.1.13.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 7)) = 0$

Paso 2.1.14

Factoriza.

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Paso 2.1.14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 7)) = 0$

Paso 2.1.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 7) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.6

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 2.6.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 7) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3, 1, - 7$

Paso 3