Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 15$

Paso 1

Establece $2 x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 15$ igual a $0$ .

$2 x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 15 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$3 x^{3} - 9 x + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $3 x$ de $3 x^{3} - 9 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 9 x + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $3 x$ de $- 9 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3) + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 3)$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Paso 2.1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 11 u + 15 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 2.1.5.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 u$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 11 u + 15 = 0$

Paso 2.1.5.1.2

Reescribe $- 11$ como $- 5$ más $- 6$

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} + (- 5 - 6) u + 15 = 0$

Paso 2.1.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 5 u - 6 u + 15 = 0$

Paso 2.1.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 5 u - 6 u + 15 = 0$

Paso 2.1.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 x (x^{2} - 3) + u (2 u - 5) - 3 (2 u - 5) = 0$

Paso 2.1.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 5$ .

$3 x (x^{2} - 3) + (2 u - 5) (u - 3) = 0$

Paso 2.1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + (2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $x^{2} - 3$ de $3 x (x^{2} - 3) + (2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3)$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $x^{2} - 3$ de $3 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x) + (2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3) = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $x^{2} - 3$ de $(2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (2 x^{2} - 5) = 0$

Paso 2.1.7.3

Factoriza $x^{2} - 3$ de $(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (2 x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x + 2 x^{2} - 5) = 0$

Paso 2.1.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} - 3) (3 u + 2 u^{2} - 5) = 0$

Paso 2.1.9

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.9.1

Reordena los términos.

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + 3 u - 5) = 0$

Paso 2.1.9.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 2.1.9.2.1

Factoriza $3$ de $3 u$ .

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + 3 (u) - 5) = 0$

Paso 2.1.9.2.2

Reescribe $3$ como $- 2$ más $5$

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + (- 2 + 5) u - 5) = 0$

Paso 2.1.9.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} - 2 u + 5 u - 5) = 0$

Paso 2.1.9.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.9.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{2} - 3) ((2 u^{2} - 2 u) + 5 u - 5) = 0$

Paso 2.1.9.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x^{2} - 3) (2 u (u - 1) + 5 (u - 1)) = 0$

Paso 2.1.9.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $u - 1$ .

$(x^{2} - 3) ((u - 1) (2 u + 5)) = 0$

Paso 2.1.10

Factoriza.

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Paso 2.1.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} - 3) ((x - 1) (2 x + 5)) = 0$

Paso 2.1.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} - 3) (x - 1) (2 x + 5) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 2.3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 2.3.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 2.3.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Establece $2 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $2 x + 5$ igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $2 x + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 5$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 3) (x - 1) (2 x + 5) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - \frac{5}{2}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - \frac{5}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 1, - 2.5$

Forma de número mixto:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 2 \frac{1}{2}$

Paso 4