Precálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{4} - 17 x^{2} + 4$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = 4 x^{4} - 17 x^{2} + 4$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$ .

$4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.2.2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 1.2.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ y cuya suma es $b = - 17$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza $- 17$ de $- 17 u$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Paso 1.2.3.1.2

Reescribe $- 17$ como $- 1$ más $- 16$

$4 u^{2} + (- 1 - 16) u + 4 = 0$

Paso 1.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 16 u + 4 = 0$

Paso 1.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 16 u + 4 = 0$

Paso 1.2.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - 4 (4 u - 1) = 0$

Paso 1.2.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 4) = 0$

Paso 1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u - 4 = 0$

Paso 1.2.5

Establece $4 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $4 u - 1$ igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $4 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 u = 1$

Paso 1.2.5.2.2

Divide cada término en $4 u = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.2.2.1

Divide cada término en $4 u = 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 1.2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 1.2.5.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Paso 1.2.6

Establece $u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Paso 1.2.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 u - 1) (u - 4) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{4}, 4$

Paso 1.2.8

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Paso 1.2.9

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Paso 1.2.10

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Paso 1.2.10.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 1.2.10.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Paso 1.2.10.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Paso 1.2.10.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.10.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 1.2.10.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Paso 1.2.10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.10.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.10.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 1.2.10.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Paso 1.2.11

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Paso 1.2.12

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.12.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 4$

Paso 1.2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 1.2.12.3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 1.2.12.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 1.2.12.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 1.2.12.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.12.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 1.2.12.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 1.2.12.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 1.2.13

La solución a $4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$ es $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2, - 2$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2, - 2$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(\frac{1}{2}, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (2, 0), (- 2, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = 4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 4 \cdot 0^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 4 \cdot 0^{4} - 17 \cdot 0^{2} + 4$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Paso 2.2.4

Simplifica $4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$ .

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Paso 2.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 17 {(0)}^{2} + 4$

Paso 2.2.4.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$y = 0 - 17 {(0)}^{2} + 4$

Paso 2.2.4.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 17 \cdot 0 + 4$

Paso 2.2.4.1.4

Multiplica $- 17$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 4$

Paso 2.2.4.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.4.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 4$

Paso 2.2.4.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$y = 4$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 4)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(\frac{1}{2}, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (2, 0), (- 2, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 4)$

Paso 4