Precálculo Ejemplos

$f (x) = 11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = 11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13 = 0$ .

$11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Reagrupa los términos.

$10 x^{3} - 130 x + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $10 x$ de $10 x^{3} - 130 x$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $10 x$ de $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 130 x + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Factoriza $10 x$ de $- 130 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 13) + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Paso 1.2.2.2.3

Factoriza $10 x$ de $10 x (x^{2}) + 10 x (- 13)$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 {(x^{2})}^{2} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Paso 1.2.2.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 144 u + 13 = 0$

Paso 1.2.2.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.2.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 11 \cdot 13 = 143$ y cuya suma es $b = - 144$ .

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Paso 1.2.2.5.1.1

Factoriza $- 144$ de $- 144 u$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 144 u + 13 = 0$

Paso 1.2.2.5.1.2

Reescribe $- 144$ como $- 1$ más $- 143$

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} + (- 1 - 143) u + 13 = 0$

Paso 1.2.2.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 1 u - 143 u + 13 = 0$

Paso 1.2.2.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 1 u - 143 u + 13 = 0$

Paso 1.2.2.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$10 x (x^{2} - 13) + u (11 u - 1) - 13 (11 u - 1) = 0$

Paso 1.2.2.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $11 u - 1$ .

$10 x (x^{2} - 13) + (11 u - 1) (u - 13) = 0$

Paso 1.2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 13) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13) = 0$

Paso 1.2.2.7

Factoriza $x^{2} - 13$ de $10 x (x^{2} - 13) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ .

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Paso 1.2.2.7.1

Factoriza $x^{2} - 13$ de $10 x (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 13) (10 x) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13) = 0$

Paso 1.2.2.7.2

Factoriza $x^{2} - 13$ de $(11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 13) (10 x) + (x^{2} - 13) (11 x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.2.2.7.3

Factoriza $x^{2} - 13$ de $(x^{2} - 13) (10 x) + (x^{2} - 13) (11 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} - 13) (10 x + 11 x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.2.2.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} - 13) (10 u + 11 u^{2} - 1) = 0$

Paso 1.2.2.9

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.2.9.1

Reordena los términos.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + 10 u - 1) = 0$

Paso 1.2.2.9.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 11 \cdot - 1 = - 11$ y cuya suma es $b = 10$ .

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Paso 1.2.2.9.2.1

Factoriza $10$ de $10 u$ .

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + 10 (u) - 1) = 0$

Paso 1.2.2.9.2.2

Reescribe $10$ como $- 1$ más $11$

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + (- 1 + 11) u - 1) = 0$

Paso 1.2.2.9.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} - 1 u + 11 u - 1) = 0$

Paso 1.2.2.9.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.9.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{2} - 13) ((11 u^{2} - 1 u) + 11 u - 1) = 0$

Paso 1.2.2.9.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x^{2} - 13) (u (11 u - 1) + 1 (11 u - 1)) = 0$

Paso 1.2.2.9.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $11 u - 1$ .

$(x^{2} - 13) ((11 u - 1) (u + 1)) = 0$

Paso 1.2.2.10

Factoriza.

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Paso 1.2.2.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} - 13) ((11 x - 1) (x + 1)) = 0$

Paso 1.2.2.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} - 13) (11 x - 1) (x + 1) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 13 = 0$

$11 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x^{2} - 13$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x^{2} - 13$ igual a $0$ .

$x^{2} - 13 = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $x^{2} - 13 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Suma $13$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 13$

Paso 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{13}$

Paso 1.2.4.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.4.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{13}$

Paso 1.2.4.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{13}$

Paso 1.2.4.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Paso 1.2.5

Establece $11 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $11 x - 1$ igual a $0$ .

$11 x - 1 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $11 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$11 x = 1$

Paso 1.2.5.2.2

Divide cada término en $11 x = 1$ por $11$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.2.2.1

Divide cada término en $11 x = 1$ por $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

Paso 1.2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

Paso 1.2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{11}$

Paso 1.2.6

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 13) (11 x - 1) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}, \frac{1}{11}, - 1$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0), (\frac{1}{11}, 0), (- 1, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = 11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 144 \cdot 0^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Paso 2.2.4

Elimina los paréntesis.

$y = 11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Paso 2.2.5

Simplifica $11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$ .

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Paso 2.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 11 \cdot 0 + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Paso 2.2.5.1.2

Multiplica $11$ por $0$ .

$y = 0 + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Paso 2.2.5.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Paso 2.2.5.1.4

Multiplica $10$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Paso 2.2.5.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 + 0 - 144 \cdot 0 - 130 \cdot 0 + 13$

Paso 2.2.5.1.6

Multiplica $- 144$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 130 \cdot 0 + 13$

Paso 2.2.5.1.7

Multiplica $- 130$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 13$

Paso 2.2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.5.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 13$

Paso 2.2.5.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 + 13$

Paso 2.2.5.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 13$

Paso 2.2.5.2.4

Suma $0$ y $13$ .

$y = 13$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 13)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0), (\frac{1}{11}, 0), (- 1, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 13)$

Paso 4