Precálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = 3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ .

$3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.2.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 1.2.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}$

Paso 1.2.2.3

Sustituye $- 0.\overline{3}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.\overline{3}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.2.2.3.1

Sustituye $- 0.\overline{3}$ en el polinomio.

$3 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Paso 1.2.2.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{037} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Paso 1.2.2.3.3

Multiplica $3$ por $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{1} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Paso 1.2.2.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$- 0.\overline{1} + 4 \cdot 0.\overline{1} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Paso 1.2.2.3.5

Multiplica $4$ por $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{1} + 0.\overline{4} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Paso 1.2.2.3.6

Suma $- 0.\overline{1}$ y $0.\overline{4}$ .

$0.\overline{3} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Paso 1.2.2.3.7

Multiplica $4$ por $- 0.\overline{3}$ .

$0.\overline{3} - 1.\overline{3} + 1$

Paso 1.2.2.3.8

Resta $1.\overline{3}$ de $0.\overline{3}$ .

$- 1 + 1$

Paso 1.2.2.3.9

Suma $- 1$ y $1$ .

$0$

Paso 1.2.2.4

Como $- 0.\overline{3}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $3 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1}{3 x + 1}$

Paso 1.2.2.5

Divide $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$ por $3 x + 1$ .

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Paso 1.2.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$1$

Paso 1.2.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$

Paso 1.2.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			+	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 1.2.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 1.2.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Paso 1.2.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 1.2.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 1.2.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Paso 1.2.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{2} + x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$

Paso 1.2.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$

Paso 1.2.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$

Paso 1.2.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$

Paso 1.2.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$
							+	$3 x$	+	$1$

Paso 1.2.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x + 1$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$
							-	$3 x$	-	$1$

Paso 1.2.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$
							-	$3 x$	-	$1$
										$0$

Paso 1.2.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + x + 1$

Paso 1.2.2.6

Escribe $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$ como un conjunto de factores.

$(3 x + 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 1$

Paso 1.2.4.2.2

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 1.2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Paso 1.2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 1.2.5

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $x^{2} + x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.5.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.5.2.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.5.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Paso 1.2.5.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 1.2.5.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.5.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.5.2.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.5.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 1.2.5.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 1.2.5.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(- \frac{1}{3}, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = 3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 3 \cdot 0^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 3 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} + 4 (0) + 1$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Paso 2.2.4

Simplifica $3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$ .

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Paso 2.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Paso 2.2.4.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$y = 0 + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Paso 2.2.4.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 + 4 \cdot 0 + 4 (0) + 1$

Paso 2.2.4.1.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 (0) + 1$

Paso 2.2.4.1.5

Multiplica $4$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 1$

Paso 2.2.4.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.4.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 + 1$

Paso 2.2.4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 1$

Paso 2.2.4.2.3

Suma $0$ y $1$ .

$y = 1$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 1)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(- \frac{1}{3}, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 1)$

Paso 4