Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - x - 6}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - x - 6}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 2$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 2, 3}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \neq \frac{4}{5}, 1}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty), {x | x \neq - 2, 3}$

Rango: $(- \infty, \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, 1) \cup (1, \infty), {y | y \neq \frac{4}{5}, 1}$

Paso 6