Precálculo Ejemplos

$p (x) = \frac{4 x^{2}}{x^{3} - 1}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{4 x^{2}}{x^{3} - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} - 1 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 1$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 1 = 0$

Paso 2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Paso 2.3.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Paso 2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.6

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 2.6.2

Resuelve $x^{2} + x + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.6.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.6.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.6.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- \frac{4 \sqrt[3]{4}}{3}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \geq - \frac{4 \sqrt[3]{4}}{3}}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, 1) \cup (1, \infty), {x | x \neq 1}$

Rango: $[- \frac{4 \sqrt[3]{4}}{3}, \infty), {y | y \geq - \frac{4 \sqrt[3]{4}}{3}}$

Paso 6