Precálculo Ejemplos

$r (x) = \frac{4 x^{2} + 4}{x^{2} + 6 x + 9}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{4 x^{2} + 4}{x^{2} + 6 x + 9}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x^{2} + 6 x + 3^{2} = 0$

Paso 2.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 2.1.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 2.2

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 3}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[\frac{2}{5}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \geq \frac{2}{5}}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty), {x | x \neq - 3}$

Rango: $[\frac{2}{5}, \infty), {y | y \geq \frac{2}{5}}$

Paso 6