Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4}{x^{2} + 6 x - 5}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{4}{x^{2} + 6 x - 5}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 6 x - 5 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 6$ y $c = - 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.3

Suma $36$ y $20$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.4

Reescribe $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $56$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{14}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.3

Suma $36$ y $20$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.4

Reescribe $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

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Paso 2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $56$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{14}$

Paso 2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 3 + \sqrt{14}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.3

Suma $36$ y $20$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.4

Reescribe $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

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Paso 2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $56$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

Paso 2.5.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{14}$

Paso 2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 3 - \sqrt{14}$

Paso 2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 3 + \sqrt{14}, - 3 - \sqrt{14}$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3 - \sqrt{14}) \cup (- 3 - \sqrt{14}, - 3 + \sqrt{14}) \cup (- 3 + \sqrt{14}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 3 + \sqrt{14}, - 3 - \sqrt{14}}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{2}{7}] \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \leq - \frac{2}{7}, y > 0}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 3 - \sqrt{14}) \cup (- 3 - \sqrt{14}, - 3 + \sqrt{14}) \cup (- 3 + \sqrt{14}, \infty), {x | x \neq - 3 + \sqrt{14}, - 3 - \sqrt{14}}$

Rango: $(- \infty, - \frac{2}{7}] \cup (0, \infty), {y | y \leq - \frac{2}{7}, y > 0}$

Paso 6