Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + x + 16 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.3

Resta $64$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.4

Reescribe $- 63$ como $- 1 (63)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (63)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.7

Reescribe $63$ como $3^{2} \cdot 7$ .

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Paso 2.3.1.7.1

Factoriza $9$ de $63$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.3

Resta $64$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.4

Reescribe $- 63$ como $- 1 (63)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (63)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.7

Reescribe $63$ como $3^{2} \cdot 7$ .

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Paso 2.4.1.7.1

Factoriza $9$ de $63$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Paso 2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Paso 2.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Paso 2.4.5

Factoriza $- 1$ de $3 i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 3 i \sqrt{7})}{2}$

Paso 2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- 3 i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - 3 i \sqrt{7})}{2}$

Paso 2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.3

Resta $64$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.4

Reescribe $- 63$ como $- 1 (63)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (63)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.7

Reescribe $63$ como $3^{2} \cdot 7$ .

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Paso 2.5.1.7.1

Factoriza $9$ de $63$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Paso 2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Paso 2.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Paso 2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- 3 i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (3 i \sqrt{7})}{2}$

Paso 2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (3 i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + 3 i \sqrt{7})}{2}$

Paso 2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Paso 2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Paso 3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Rango: $[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}], {y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

Paso 6