Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ como una ecuación.

$y = \frac{2 x}{3 x - 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{2 y}{3 y - 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $3 y - 1$ .

$(3 y - 1) (x) = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $(3 y - 1) (x)$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y x - 1 x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$3 y x - x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $3 y - 1$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$3 y x - x = \frac{2 y}{3 y - 1} (3 y - 1)$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$3 y x - x = 2 y$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y x - x - 2 y = 0$

Paso 3.4.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y x - 2 y = x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $3 y x - 2 y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $3 y x$ .

$y (3 x) - 2 y = x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- 2 y$ .

$y (3 x) + y \cdot - 2 = x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (3 x) + y \cdot - 2$ .

$y (3 x - 2) = x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (3 x - 2) = x$ por $3 x - 2$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (3 x - 2) = x$ por $3 x - 2$ .

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $3 x - 2$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{3 x - 2}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 1}}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

Paso 5.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $3 \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Combina $3$ y $\frac{2 x}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 (2 x)}{3 x - 1} - 2}$

Paso 5.2.4.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2}$

Paso 5.2.4.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2 \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1}}$

Paso 5.2.4.3

Combina $- 2$ y $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{- 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Paso 5.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Paso 5.2.4.5

Reescribe $\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.5.1

Factoriza $2$ de $6 x - 2 (3 x - 1)$ .

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Paso 5.2.4.5.1.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Paso 5.2.4.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 (3 x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

Paso 5.2.4.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

Paso 5.2.4.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x) + 1)}{3 x - 1}}$

Paso 5.2.4.5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

Paso 5.2.4.5.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

Paso 5.2.4.5.5

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 1)}{3 x - 1}}$

Paso 5.2.4.5.6

Suma $0$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{3 x - 1}}$

Paso 5.2.4.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3 x - 1}}$

Paso 5.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot (1 (\frac{3 x - 1}{2}))$

Paso 5.2.6

Multiplica $\frac{3 x - 1}{2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.7.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 (x)}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Paso 5.2.7.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Paso 5.2.7.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $3 x - 1$ .

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Paso 5.2.8.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

Paso 5.2.8.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x}{3 x - 2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (\frac{x}{3 x - 2})}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

Paso 5.3.3

Combina $2$ y $\frac{x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Combina $3$ y $\frac{x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1}$

Paso 5.3.4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Paso 5.3.4.3

Combina $- 1$ y $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} + \frac{- (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Paso 5.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Paso 5.3.4.5

Reescribe $\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x) + 2}{3 x - 2}}$

Paso 5.3.4.5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

Paso 5.3.4.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

Paso 5.3.4.5.4

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 2}{3 x - 2}}$

Paso 5.3.4.5.5

Suma $0$ y $2$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{2}{3 x - 2}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $3 x - 2$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Paso 5.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$