Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x + 5}{x - 7}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{2 x + 5}{x - 7}$ como una ecuación.

$y = \frac{2 x + 5}{x - 7}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{2 y + 5}{y - 7}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $y - 7$ .

$(y - 7) (x) = (\frac{2 y + 5}{y - 7}) (y - 7)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x - 7 x = (\frac{2 y + 5}{y - 7}) (y - 7)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $y - 7$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y x - 7 x = \frac{2 y + 5}{y - 7} (y - 7)$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y x - 7 x = 2 y + 5$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y x - 7 x - 2 y = 5$

Paso 3.4.2

Suma $7 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x - 2 y = 5 + 7 x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y x - 2 y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) - 2 y = 5 + 7 x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 5 + 7 x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 5 + 7 x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (x - 2) = 5 + 7 x$ por $x - 2$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (x - 2) = 5 + 7 x$ por $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5}{x - 2} + \frac{7 x}{x - 2}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5}{x - 2} + \frac{7 x}{x - 2}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5}{x - 2} + \frac{7 x}{x - 2}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{5 + 7 x}{x - 2}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + 7 x}{x - 2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{5 + 7 x}{x - 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x + 5}{x - 7}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{5 + 7 (\frac{2 x + 5}{x - 7})}{(\frac{2 x + 5}{x - 7}) - 2}$

Paso 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 7$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{5 + 7 \frac{2 x + 5}{x - 7}}{\frac{2 x + 5}{x - 7} - 2}$ por $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{x - 7}{x - 7} \cdot \frac{5 + 7 (\frac{2 x + 5}{x - 7})}{\frac{2 x + 5}{x - 7} - 2}$

Paso 5.2.3.2

Combinar.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (5 + 7 (\frac{2 x + 5}{x - 7}))}{(x - 7) (\frac{2 x + 5}{x - 7} - 2)}$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) \cdot 5 + (x - 7) (7 (\frac{2 x + 5}{x - 7}))}{(x - 7) (\frac{2 x + 5}{x - 7}) + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $x - 7$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) \cdot 5 + (x - 7) (7 (\frac{2 x + 5}{x - 7}))}{(x - 7) (\frac{2 x + 5}{x - 7}) + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) \cdot 5 + (x - 7) (7 (\frac{2 x + 5}{x - 7}))}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.1

Factoriza $x - 7$ de $(x - 7) \cdot 5 + (x - 7) \cdot 7 \frac{2 x + 5}{x - 7}$ .

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Paso 5.2.6.1.1

Factoriza $x - 7$ de $(x - 7) \cdot 5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (5) + (x - 7) (7 (\frac{2 x + 5}{x - 7}))}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6.1.2

Factoriza $x - 7$ de $(x - 7) (5) + (x - 7) (7 \frac{2 x + 5}{x - 7})$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (5 + 7 (\frac{2 x + 5}{x - 7}))}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6.2

Combina $7$ y $\frac{2 x + 5}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (5 + \frac{7 (2 x + 5)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6.3

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{5 (x - 7)}{x - 7} + \frac{7 (2 x + 5)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{5 (x - 7) + 7 (2 x + 5)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6.5

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{7 (2 x + 5) + 5 (x - 7)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6.6

Reescribe $\frac{7 (2 x + 5) + 5 (x - 7)}{x - 7}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.6.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{7 (2 x) + 7 \cdot 5 + 5 (x - 7)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6.6.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{14 x + 7 \cdot 5 + 5 (x - 7)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6.6.3

Multiplica $7$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{14 x + 35 + 5 (x - 7)}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{14 x + 35 + 5 x + 5 \cdot - 7}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6.6.5

Multiplica $5$ por $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{14 x + 35 + 5 x - 35}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6.6.6

Suma $14 x$ y $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x + 35 - 35}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6.6.7

Resta $35$ de $35$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x + 0}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.6.6.8

Suma $19 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{2 x + 5 + (x - 7) \cdot - 2}$

Paso 5.2.7

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{2 x + 5 + x \cdot - 2 - 7 \cdot - 2}$

Paso 5.2.7.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{2 x + 5 - 2 \cdot x - 7 \cdot - 2}$

Paso 5.2.7.3

Multiplica $- 7$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{2 x + 5 - 2 \cdot x + 14}$

Paso 5.2.7.4

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{0 + 5 + 14}$

Paso 5.2.7.5

Suma $0$ y $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{5 + 14}$

Paso 5.2.7.6

Suma $5$ y $14$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{(x - 7) (\frac{19 x}{x - 7})}{19}$

Paso 5.2.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.8.1

Factoriza $\frac{19 x}{x - 7}$ de $\frac{(x - 7) \frac{19 x}{x - 7}}{19}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{19 x}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{19}$

Paso 5.2.8.2

Cancela el factor común de $19$ .

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Paso 5.2.8.2.1

Factoriza $19$ de $19 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{19 (x)}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{19}$

Paso 5.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{19 x}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{19}$

Paso 5.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{x}{x - 7} \cdot (x - 7)$

Paso 5.2.8.3

Cancela el factor común de $x - 7$ .

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Paso 5.2.8.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = \frac{x}{x - 7} \cdot (x - 7)$

Paso 5.2.8.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{x - 7}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{5 + 7 x}{x - 2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) + 5}{(\frac{5 + 7 x}{x - 2}) - 7}$

Paso 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $\frac{2 \frac{5 + 7 x}{x - 2} + 5}{\frac{5 + 7 x}{x - 2} - 7}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) + 5}{\frac{5 + 7 x}{x - 2} - 7}$

Paso 5.3.3.2

Combinar.

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) + 5)}{(x - 2) (\frac{5 + 7 x}{x - 2} - 7)}$

Paso 5.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 5}{(x - 2) (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 5}{(x - 2) (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 5}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) \cdot 2 \frac{5 + 7 x}{x - 2} + (x - 2) \cdot 5$ .

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Paso 5.3.6.1.1

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) \cdot 2 \frac{5 + 7 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 5}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.1.2

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) \cdot 5$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2})) + (x - 2) (5)}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.1.3

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) (2 \frac{5 + 7 x}{x - 2}) + (x - 2) (5)$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) + 5)}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.2

Combina $2$ y $\frac{5 + 7 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (5 + 7 x)}{x - 2} + 5)}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.3

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (5 + 7 x)}{x - 2} + \frac{5 (x - 2)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (5 + 7 x) + 5 (x - 2)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.5

Reordena los términos.

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 (x - 2) + 2 (5 + 7 x)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.6

Reescribe $\frac{5 (x - 2) + 2 (5 + 7 x)}{x - 2}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.6.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x + 5 \cdot - 2 + 2 (5 + 7 x)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.6.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 10 + 2 (5 + 7 x)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 10 + 2 \cdot 5 + 2 (7 x)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.6.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 10 + 10 + 2 (7 x)}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.6.5

Multiplica $7$ por $2$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 10 + 10 + 14 x}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.6.6

Suma $5 x$ y $14 x$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x - 10 + 10}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.6.7

Suma $- 10$ y $10$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x + 0}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.6.6.8

Suma $19 x$ y $0$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{5 + 7 x + (x - 2) \cdot - 7}$

Paso 5.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{5 + 7 x + x \cdot - 7 - 2 \cdot - 7}$

Paso 5.3.7.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $x$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{5 + 7 x - 7 \cdot x - 2 \cdot - 7}$

Paso 5.3.7.3

Multiplica $- 2$ por $- 7$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{5 + 7 x - 7 \cdot x + 14}$

Paso 5.3.7.4

Suma $5$ y $14$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{7 x - 7 x + 19}$

Paso 5.3.7.5

Resta $7 x$ de $7 x$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{0 + 19}$

Paso 5.3.7.6

Suma $0$ y $19$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{19 x}{x - 2})}{19}$

Paso 5.3.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.8.1

Factoriza $\frac{19 x}{x - 2}$ de $\frac{(x - 2) \frac{19 x}{x - 2}}{19}$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{19 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{19}$

Paso 5.3.8.2

Cancela el factor común de $19$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.8.2.1

Factoriza $19$ de $19 x$ .

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{19 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{19}$

Paso 5.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{19 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{19}$

Paso 5.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Paso 5.3.8.3

Cancela el factor común de $x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.8.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Paso 5.3.8.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 + 7 x}{x - 2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{5 + 7 x}{x - 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x + 5}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + 7 x}{x - 2}$